Ecuaciones diferenciales I: introduccion
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran derivadas de una funcion desconocida. Son fundamentales en fisica, ingenieria, biologia, economia. Describen como cambian los sistemas en el tiempo.
Conceptos basicos
Una ecuacion diferencial relaciona una funcion y sus derivadas. El orden es la derivada mas alta presente. El grado es la potencia de la derivada mas alta.
- Ecuacion diferencial ordinaria (EDO): una sola variable independiente.
- Ecuacion diferencial parcial (EDP): multiples variables independientes.
- Orden: la derivada de mayor orden en la ecuacion.
- Grado: potencia de la derivada de mayor orden.
- Solucion general: familia de funciones con constantes arbitrarias.
- Solucion particular: se obtiene con condiciones iniciales.
- Ecuacion separable: se puede escribir como g(y)dy = f(x)dx.
| Tipo | Ejemplo | Orden |
|---|---|---|
| EDO primer orden | dy/dx = 2x | 1 |
| EDO segundo orden | y'' + y = 0 | 2 |
| EDO tercer orden | y''' - 3y'' + 2y = 0 | 3 |
| Separable | dy/dx = x/y | 1 |
| Lineal | dy/dx + P(x)y = Q(x) | 1 |
| Exacta | M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 | 1 |
Paso 1: Identificar
Identifica el tipo de ecuacion diferencial: orden, grado, si es separable, lineal o exacta.Paso 2: Separar variables
Si es separable, reorganiza: g(y)dy = f(x)dx. Mueve terminos con y a un lado, terminos con x al otro.Paso 3: Integrar
Integra ambos lados: ∫g(y)dy = ∫f(x)dx + C. Obtienes la solucion general implicita.Paso 4: Condicion inicial
Si hay condicion inicial y(x₀) = y₀, sustituye para encontrar C. Obtienes la solucion particular.
Paso 1 de 4
Las ecuaciones diferenciales modelan crecimiento poblacional, desintegracion radiactiva, circuitos electricos, movimiento armonico, transferencia de calor y muchos fenomenos mas.
Piensa y responde
¿Cual es el orden de la ecuacion diferencial y'' + 3y' + 2y = 0?
Toda ecuacion diferencial de primer orden es separable.
La solucion de una ecuacion diferencial contiene constantes arbitrarias, mientras que la solucion se obtiene con condiciones iniciales.
Relaciona cada ecuacion con su tipo:
Clasifica estas ecuaciones diferenciales segun su orden:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para resolver dy/dx = xy, y(0) = 1:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que las ecuaciones diferenciales son tan importantes en la modelacion de fenomenos naturales?
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Para dominar este tema
- Identifica orden y grado de cualquier EDO.
- Reconoce ecuaciones separables, lineales y exactas.
- Resuelve EDO separables paso a paso.
- Aplica condiciones iniciales para encontrar soluciones particulares.
- Interpreta el significado de la solucion general y particular.
Ecuaciones diferenciales I
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