Calculo integral II: tecnicas de integracion
El calculo integral II profundiza en las tecnicas de integracion. No todas las integrales son directas. Algunas requieren tecnicas especiales: sustitucion, integracion por partes, integrales trigonometricas, fracciones parciales. Estas herramientas permiten resolver integrales complejas.
Tecnicas de integracion
Las tecnicas de integracion son metodos para transformar integrales complejas en integrales basicas que podemos resolver.
- Sustitucion (cambio de variable): u = g(x), du = g'(x)dx.
- Integracion por partes: ∫u·dv = u·v - ∫v·du.
- Integrales trigonometricas: sen²(x), cos²(x), sen(x)cos(x).
- Sustitucion trigonometrica: x = a·sen(θ), x = a·tan(θ).
- Fracciones parciales: descomponer en fracciones mas simples.
- Identidades trigonometricas: sen²(x) + cos²(x) = 1.
- Integrales impropias: limites infinitos o discontinuidades.
| Tecnica | Cuando usar | Ejemplo |
|---|---|---|
| Sustitucion | Hay composicion f(g(x)) | ∫2x·cos(x²)dx, u=x² |
| Por partes | Producto de funciones | ∫x·e^x dx |
| Trigonométrica | Involucra sen, cos, tan | ∫sen²(x)dx |
| Sust. trig. | Hay √(a²-x²) o similar | ∫√(1-x²)dx |
| Fracciones parciales | Fraccion con polinomios | ∫1/(x²-1)dx |
| Identidades | Potencias de sen/cos | ∫sen²(x)cos²(x)dx |
Tecnicas principales
Sustitucion
Si la integral tiene f(g(x))·g'(x), hacemos u = g(x), du = g'(x)dx. La integral se simplifica. Ejemplo: ∫2x·cos(x²)dx, u=x², du=2x·dx → ∫cos(u)du = sen(u)+C = sen(x²)+C.Integracion por partes
Para productos: ∫u·dv = u·v - ∫v·du. Elegimos u y dv. LIATE ayuda: Logaritmica, Inversa trig, Algebraica, Trig, Exponencial. Ejemplo: ∫x·e^x dx, u=x, dv=e^x·dx → x·e^x - ∫e^x·dx = x·e^x - e^x + C.Integrales trigonometricas
Usamos identidades: sen²(x) = (1-cos(2x))/2, cos²(x) = (1+cos(2x))/2. Para ∫sen^m(x)cos^n(x)dx, si m o n es impar, separamos uno y sustituimos.
Paso 1 de 3
Las tecnicas de integracion son herramientas poderosas. Requieren practica para reconocer cual usar en cada caso. Con experiencia, puedes resolver integrales complejas.
Piensa y responde
¿Cuando se usa sustitucion?
La integracion por partes es: ∫u·dv = u·v - ∫v·du.
Para ∫x·e^x dx usamos , y para ∫2x·cos(x²)dx usamos .
Relaciona cada integral con su tecnica:
Clasifica estas integrales:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos de sustitucion:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que existen multiples tecnicas de integracion? ¿Cual te parece mas dificil? ¿Como practicas para reconocer cual usar?
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Para dominar este tema
- Sustitucion: u = g(x), para composiciones.
- Por partes: ∫u·dv = u·v - ∫v·du, para productos.
- Trigonometricas: identidades, potencias de sen/cos.
- Fracciones parciales: descomponer fracciones.
- Practica para reconocer la tecnica.
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