Calculo integral I: antiderivadas
El calculo integral es la operacion inversa del calculo diferencial. Mientras la derivada mide el cambio, la integral calcula el area bajo la curva. Fue desarrollado por Newton y Leibniz. La integral es fundamental en fisica, ingenieria, economia y todas las ciencias.
Antiderivadas
Una antiderivada de f(x) es una funcion F(x) tal que F'(x) = f(x). La integral indefinida ∫f(x)dx representa todas las antiderivadas de f(x). Se escribe ∫f(x)dx = F(x) + C, donde C es la constante de integracion.
- Antiderivada: F(x) tal que F'(x) = f(x).
- Integral indefinida: ∫f(x)dx = F(x) + C.
- Constante de integracion: C (familia de funciones).
- Regla de la potencia: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
- Integral de sen(x): -cos(x) + C.
- Integral de cos(x): sen(x) + C.
- Integral de e^x: e^x + C.
- Integral de 1/x: ln|x| + C.
| Funcion f(x) | Integral ∫f(x)dx | Derivada de la integral |
|---|---|---|
| x^n | x^(n+1)/(n+1) + C | x^n |
| sen(x) | -cos(x) + C | sen(x) |
| cos(x) | sen(x) + C | cos(x) |
| e^x | e^x + C | e^x |
| 1/x | ln|x| + C | 1/x |
| sec²(x) | tan(x) + C | sec²(x) |
Integral definida
Definicion
La integral definida ∫[a,b] f(x)dx calcula el area bajo la curva entre x=a y x=b. Por el Teorema Fundamental del Calculo: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a).Teorema Fundamental
El Teorema Fundamental del Calculo conecta derivadas e integrales: si F'(x) = f(x), entonces ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a). Es el puente entre calculo diferencial e integral.Aplicaciones
La integral definida calcula: areas bajo curvas, volumenes de solidos, trabajo realizado por una fuerza, distancia recorrida, valor promedio de una funcion.
Paso 1 de 3
El calculo integral es tan importante como el diferencial. Permite resolver problemas de areas, volumenes, trabajo, probabilidad y muchos otros. Es fundamental en todas las ciencias.
Piensa y responde
¿Que es una antiderivada de f(x)?
La integral de x^n es x^(n+1)/(n+1) + C.
La integral indefinida ∫f(x)dx = + C, donde C es la .
Relaciona cada funcion con su integral:
Clasifica estas integrales:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena el Teorema Fundamental del Calculo:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que la integral es tan importante en la ciencia? ¿Puedes pensar en ejemplos donde se use la integral para calcular areas, volumenes o trabajo?
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Para dominar este tema
- Antiderivada: F(x) tal que F'(x) = f(x).
- Integral indefinida: ∫f(x)dx = F(x) + C.
- Reglas basicas: potencia, sen, cos, e^x, 1/x.
- Integral definida: area bajo la curva.
- Teorema Fundamental: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a).
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