Métodos de raíz: bisección y Newton
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Por qué iterativo
Salvo casos especiales (polinomios de grado bajo), no existe una fórmula cerrada para las raíces de una función arbitraria. La única salida es numérica: partir de una sospecha y refinarla con reglas que, se espera, convergen hacia el cero.
La idea de enclaustramiento
Si una función continua cambia de signo entre dos puntos, en medio hay al menos una raíz (teorema del valor intermedio). Ese simple hecho es el cimiento de los métodos robustos: en lugar de adivinar, se encierra la raíz en un intervalo que garantiza su presencia.
Bisección
El método de bisección toma un intervalo con cambio de signo, calcula el punto medio y conserva la mitad donde persiste el cambio de signo. Repite. Cada paso reduce el ancho del intervalo a la mitad: garantizado, tonto, e imparable.
Convergencia de la bisección
La bisección converge de forma lineal: cada iteración gana aproximadamente una cifra binaria de precisión. Para reducir el error diez veces hacen falta unos tres o cuatro pasos. Es lenta pero nunca falla si el arranque enclaustra una raíz.
Ventaja de la bisección
Su virtud es la robustez: no necesita derivadas, no depende de un buen punto inicial más allá de un intervalo válido, y la convergencia está garantizada. Es el método al que recurrir cuando no se puede permitir el lujo de divergir.
Inconveniente
Su lentitud. Cuando se necesitan muchas cifras o se resuelven miles de ecuaciones, la bisección resulta cara. Y solo encuentra una raíz por intervalo: si hay varias enclaustradas, hay que separarlas previamente.
Newton: usar la pendiente
El método de Newton-Raphson aprovecha la derivada: desde un punto, traza la tangente a la curva y donde esa tangente corta el eje horizontal coloca la siguiente aproximación. Usa información local de primer orden para saltar directamente hacia la raíz.
La iteración de Newton
La nueva aproximación es la vieja menos el valor de la función entre su derivada en ese punto. Geométricamente, es la intersección de la tangente con el eje. Convergencia cuadrática: el número de cifras correctas se duplica en cada paso cuando se está cerca de la raíz.
Convergencia cuadrática
Si la bisección gana una cifra binaria por paso, Newton las duplica. Cerca de la raíz, es espectacular: en pocos iterados se alcanza la precisión de máquina. Esta velocidad es la razón de su enorme uso en optimización y resolución de sistemas.
El precio de la velocidad
Newton no garantiza nada globalmente. Lejos de la raíz puede divergir, oscilar entre dos puntos o saltar hacia otra raíz lejana. Requiere derivada y un buen punto de partida. Es un método local: excelente cerca del objetivo, impredecible lejos.
Cuando la derivada traiciona
Si la derivada se anula o es minúscula cerca del iterado, el cociente explota y el salto es absurdo. En raíces múltiples (donde la función toca el eje sin cruzarlo con pendiente), Newton pierde su convergencia cuadrática y se vuelve lento.
Falla sin enclaustramiento
A diferencia de la bisección, Newton puede escapar al infinito en funciones no acotadas. Por eso en la práctica se combina: una fase robusta (bisección o regula falsi) que enclaustre, y Newton que acelere dentro del intervalo seguro.
Regula falsi y variantes
Entre ambos extremos hay interpolaciones: regula falsi traza la recta secante entre los dos extremos del intervalo y usa su corte, manteniendo el enclaustramiento. Las variantes Illinois y Pegasus corrigen su tendencia a estancarse en un extremo.
Criterio de parada
¿Cuándo detenerse? Se combina un umbral sobre el residuo (valor de la función cerca de cero) con otro sobre el cambio entre iteraciones. Ninguno basta solo: un residuo pequeño puede acompañar una mala aproximación en problemas mal condicionados.
Orden de convergencia
La rapidez con que el error se reduce define el orden: lineal (factor constante) para bisección, cuadrático (error siguiente proporcional al cuadrado del actual) para Newton. Conocer el orden permite predecir cuántas iteraciones costará una precisión dada.
Estrategia híbrida
- Buscar primero intervalos con cambio de signo barriendo el dominio.
- Acotar con unos pasos de bisección para entrar en la cuenca de atracción.
- Acelerar con Newton una vez cerca.
- Rechazar el paso de Newton si sale del intervalo, cayendo a bisección.
La principal diferencia entre bisección y Newton es que:
El método de Newton converge a la raíz más cercana al punto inicial con independencia de la función.
Conteo de raíces
Si la función no cambia de signo en una raíz (tangente al eje), los métodos por enclaustramiento no la detectan. Buscar raíces exige a veces estudiar mínimizos de la función al cuadrado o usar información adicional sobre su estructura.
En alta dimensión
Para sistemas de ecuaciones, Newton se generaliza con la matriz jacobiana: cada paso resuelve un sistema lineal para el incremento. La convergencia sigue siendo cuadrática cerca de la solución, pero el coste por iteración crece mucho.
Errores frecuentes
- Lanzar Newton sin un punto inicial razonable y celebrar la divergencia como bug.
- Detenerse solo por residuo pequeño sin comprobar el condicionamiento.
- Olvidar que la bisección necesita cambio de signo real en el intervalo de partida.
Raíces: vocabulario
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Newtons methodDerivación geométrica, convergencia y contraejemplos de divergencia.
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