Integración numérica
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Por qué hace falta
La mayoría de funciones no tienen primitiva expresable en funciones elementales: la campana gaussiana es el ejemplo canónico. Además, en datos reales la función llega como una tabla de mediciones. En ambos casos se integra aproximando la curva localmente.
La idea de cuadratura
Toda regla de integración numérica aproxima la integral por una suma ponderada de valores de la función en ciertos puntos (nodos). Cambiando los nodos y los pesos se obtienen métodos de distinta precisión y coste.
Regla del trapecio
La más sencilla: sustituir la curva, en cada subintervalo, por el segmento recto que une sus extremos, aproximando el área por un trapecio. Es exacta para funciones lineales y su error decrece con el cuadrado del paso al refinar la malla.
Orden de error del trapecio
Compuesto sobre muchos tramos, el error del trapecio cae como el paso al cuadrado. Duplicar el número de subintervalos divide el error por cuatro. Converge, pero no especialmente rápido.
Regla de Simpson
Simpson ajusta una parábola a cada trío de puntos en lugar de una recta. Al usar más información de la curvatura local, su error cae como el paso a la cuarta: converge muchísimo más rápido para funciones suficientemente suaves.
Por qué Simpson es exacto hasta cúbicas
Sorprendentemente, Simpson, que deriva de aproximar por parábolas, integra exactamente también polinomios cúbicos: el término de error de tercer grado se cancela por simetría. Su potencia real va un grado más allá de lo que su construcción sugiere.
La paradoja de subir tramos
Refinar indefinidamente la malla no siempre mejora el resultado: llega un punto en que el error de redondeo acumulado supera la ganancia por truncamiento. Como en general en numérico, existe un óptimo de refinamiento.
Cuadratura gaussiana
En lugar de repartir nodos equiespaciados y elegir pesos, la cuadratura de Gauss elige ambos para maximizar el grado de exactitud. Con n nodos integra exactamente polinomios de grado hasta dos n menos uno, el mejor posible para ese número de evaluaciones.
Nodos y pesos óptimos
Los puntos de Gauss-Legendre (los nodos óptimos para el intervalo estándar) son las raíces de los polinomios de Legendre, y los pesos se calculan para lograr esa exactitud máxima. Menos evaluaciones para el mismo resultado: más eficiente que trapecio o Simpson.
Compuesta y adaptativa
Como Gauss-Legendre es óptima en un intervalo fijo, se aplica por tramos (compuesta) y, sobre todo, de forma adaptativa: se subdivide más donde la función varía rápido y menos donde es plana, concentrando el esfuerzo donde aporta.
Estimar el error en vuelo
Las rutinas adaptativas comparan la integral de un tramo con la de sus mitades (regla de Richardson) para estimar el error local y decidir si subdividir. Así se alcanza una tolerancia pedida sin desperdiciar evaluaciones en zonas triviales.
Funciones con singularidades
Si la integranda explota o no es suave en algún punto, las reglas estándar convergen lento. Se usan cambios de variable que absorben la singularidad, se separa el trozo problemático, o cuadratura adaptativa muy agresiva alrededor del punto difícil.
Integrales impropias e infinitas
Domínios infinitos se tratan transformándolos a un intervalo finito (cambios tipo t entre uno más t al cuadrado) o con cuadraturas de Gauss especializadas para peso exponencial (Laguerre) sobre la semirrecta.
Integrar datos muestreados
Cuando no hay función sino muestras, el trapecio compuesto es la elección natural por su sencillez. Simpson exige equiespaciado y un número impar de puntos; con datos irregulares hay que rehacer la malla o usar splines e integrarlos analíticamente.
Errores frecuentes
- Aplicar Simpson con un número par de subintervalos o datos no equiespaciados sin corregir.
- No verificar que la función es suficientemente suave antes de esperar alta convergencia.
- Refinar la malla sin límite hasta que el redondeo dominaba el resultado.
Para una función suficientemente suave, al refinado uniforme de la malla la regla con error que cae más rápido es:
La cuadratura gaussiana mejora a trapecio y Simpson eligiendo mejor los pesos con los nodos ya fijados.
Cuadratura montecarlo
En dimensiones altas, las reglas deterministas se vuelven prohibitivas y el muestreo aleatorio (Montecarlo) gana sentido: la convergencia, aunque lenta en el número de muestras, no depende del número de dimensiones, esquivando la maldición de la dimensionalidad.
Relación con probabilidad
Calcular un valor esperado, una probabilidad o una función de distribución es, casi siempre, integrar numéricamente una densidad. Por esto esta lección sustenta la computación estadística: las cantidades que importan rara vez tienen forma cerrada.
Cuadratura: vocabulario
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Ordena las reglas de menor a mayor orden de precisión en el paso:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Numerical integration notesTablas de nodos y pesos de Gauss y discusión de cuadraturas compuestas.
Debes integrar una densidad de probabilidad con un pico muy agudo en un punto y colas larguísimas. ¿Malla uniforme o adaptativa, y dónde concentrarías el esfuerzo de cálculo?
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