Analisis real I: sucesiones y series
El analisis real estudia rigurosamente los numeros reales, sucesiones y series. Es la base del calculo avanzado y garantiza que operaciones como sumas infinitas tengan sentido matematico.
Sucesiones
Una sucesion es una lista ordenada de numeros. Una sucesion converge si sus terminos se acercan cada vez mas a un valor limite. Si no converge, diverge.
| Sucesion | Limite | Converge |
|---|---|---|
| 1/n | 0 | Si |
| (-1)^n | No existe | No |
| (1 + 1/n)^n | e = 2.718... | Si |
| n^2 | Infinito | No |
Series
Una serie es la suma de los terminos de una sucesion. La serie converge si la suma parcial tiende a un valor finito.Criterios de convergencia
Criterio de la razon: si el limite de |a_{n+1}/a_n| es menor que 1, converge. Criterio de la raiz: si el limite de raiz n-esima de |a_n| es menor que 1, converge.Series famosas
La serie geometrica suma r^n/(1-r) para |r| menor que 1. La serie armonica 1/n diverge. La serie de Basel suma 1/n^2 = Pi^2/6.
Paso 1 de 3
Augustin Cauchy y Karl Weierstrass rigurizaron el analisis en el siglo XIX, demostrando que intuiciones sobre limites y continuidad podian ser falsas sin definiciones precisas.
Piensa y responde
¿A que converge la sucesion 1/n cuando n tiende a infinito?
La serie armonica 1/n converge.
El criterio de la razon dice que si el limite de |a_{n+1}/a_n| es menor que , la serie converge, y la serie geometrica converge si |r| es menor que .
Relaciona cada serie con su comportamiento:
Clasifica estas sucesiones segon converjan o diverjan:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para aplicar el criterio de la razon:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que fue necesario rigorizar el calculo en el siglo XIX?
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Para dominar este tema
- Identifica sucesiones convergentes
- Aplica criterios de convergencia
- Conoce series famosas
- Comprende la importancia del rigor
Analisis real I
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