Geometria analitica avanzada I: la elipse
La elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Es una de las cuatro conicas y tiene aplicaciones fundamentales en astronomia, arquitectura y optica.
Elementos de la elipse
La elipse tiene centro, dos focos, dos ejes (mayor y menor), cuatro vertices y una excentricidad. La relacion entre estos elementos define su forma.
- Centro: punto medio entre los focos (h, k).
- Focos: F₁ y F₂, situados sobre el eje mayor.
- Eje mayor (2a): la distancia mas larga, pasa por los focos.
- Eje menor (2b): perpendicular al eje mayor en el centro.
- Vertices: extremos de los ejes (4 vertices).
- Excentricidad: e = c/a, donde c² = a² - b². Valor entre 0 y 1.
- Definicion: PF₁ + PF₂ = 2a para todo punto P de la elipse.
| Ecuacion | Centro | Eje mayor |
|---|---|---|
| x²/a² + y²/b² = 1 | (0,0) | Horizontal (si a > b) |
| (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 | (h,k) | Horizontal (si a > b) |
| x²/b² + y²/a² = 1 | (0,0) | Vertical (si a > b) |
| (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1 | (h,k) | Vertical (si a > b) |
Paso 1: Identificar centro
El centro (h,k) se lee directamente de la ecuacion (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1.Paso 2: Determinar ejes
El denominador mayor es a² (eje mayor), el menor es b² (eje menor). Si a² esta bajo x, el eje mayor es horizontal.Paso 3: Calcular focos
Usa c² = a² - b² para encontrar c. Los focos estan a distancia c del centro sobre el eje mayor.Paso 4: Graficar
Marca centro, vertices (±a, ±b) y focos. Dibuja la elipse pasando por los vertices.
Paso 1 de 4
Las elipses describen las orbitas de los planetas alrededor del Sol (primera ley de Kepler), la forma de algunos edificios (eco de galerias whispering), y trayectorias de satelites.
Piensa y responde
¿Cual es la excentricidad de una elipse con a = 5 y c = 3?
Un circulo es un caso especial de elipse con excentricidad 0.
En la elipse x²/25 + y²/9 = 1, el valor de a es , el valor de b es , y c = .
Relaciona cada elemento con su descripcion:
Clasifica estas elipses segun la orientacion de su eje mayor:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para encontrar los focos de x²/25 + y²/9 = 1:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que las orbitas planetarias son elipses y no circulos perfectos?
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Para dominar este tema
- Identifica centro, ejes y focos de una elipse.
- Escribe la ecuacion canonica y ordinaria.
- Calcula la excentricidad y su significado.
- Grafica elipses a partir de su ecuacion.
- Aplica las propiedades en problemas reales.
La elipse
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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