Procesos estocasticos I: Markov, martingalas y movimiento browniano
Los procesos estocasticos modelan sistemas que evolucionan aleatoriamente en el tiempo. Las cadenas de Markov, martingalas y el movimiento browniano son los procesos mas importantes.
Cadenas de Markov
Una cadena de Markov es un proceso estocastico donde el futuro solo depende del presente, no del pasado. Esta propiedad de Markov simplifica enormemente el analisis.
- Proceso estocastico: familia de variables aleatorias indexadas por tiempo
- Propiedad de Markov: el futuro solo depende del presente
- Matriz de transicion: probabilidades de pasar de un estado a otro
- Distribucion estacionaria: distribucion que no cambia con el tiempo
- Martingala: proceso donde la esperanza futura dado el pasado es el valor presente
| Concepto | Definicion | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cadena de Markov | Proceso con propiedad de Markov | Clima: soleado/nublado |
| Matriz de transicion | Probabilidades P(X_{n+1}=j|X_n=i) | Matriz 2x2 para clima |
| Estacionariedad | Distribucion invariante bajo transicion | Pi*P = Pi |
| Martingala | E(X_{n+1}|X_0,...,X_n) = X_n | Juego justo |
| Movimiento browniano | Proceso con incrementos independientes y normales | Precio de acciones |
Cadenas de Markov
Una cadena de Markov discreta se define por su matriz de transicion P. La distribucion despues de n pasos es la distribucion inicial multiplicada por P^n.Martingalas
Una martingala es un proceso donde la mejor prediccion del futuro es el valor presente. Son fundamentales en teoria de finanzas y juegos justos.Movimiento browniano
El movimiento browniano es un proceso continuo con incrementos independientes y normalmente distribuidos. Modela el movimiento de particulas y precios de activos.
Paso 1 de 3
Piensa y responde: aplica lo aprendido sobre procesos estocasticos.
En una cadena de Markov, la probabilidad de transicion P(X_{n+1}=j|X_n=i) depende de:
Una martingala modela un juego justo donde la ganancia esperada es cero.
Una cadena de es un proceso donde el futuro solo depende del . Una es un proceso donde la esperanza futura es el valor presente. El movimiento modela precios de activos.
Relaciona cada proceso con su caracteristica.
Clasifica cada proceso segun su tipo de tiempo.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para encontrar la distribucion estacionaria de una cadena de Markov.
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
Como se usa el movimiento browniano en el modelo de Black-Scholes para opciones financieras?
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Para dominar este tema, domina los procesos estocasticos basicos.
- Cadenas de Markov: propiedad de Markov y matrices de transicion
- Martingalas: modelos de juegos justos
- Movimiento browniano: proceso continuo con incrementos normales
- Aplicaciones: fisica, finanzas, biologia
Evaluacion de procesos estocasticos I
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