Teoria de medida II: integral de Lebesgue y espacios Lp
La integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann y permite integrar una clase mas amplia de funciones. Los teoremas de convergencia son herramientas poderosas para intercambiar limites e integrales.
Integral de Lebesgue
La integral de Lebesgue se construye en pasos: primero para funciones simples, luego para funciones no negativas como supremo de integrales de funciones simples, y finalmente para funciones generales descomponiendo en parte positiva y negativa.
- Funcion simple: combinacion lineal finita de funciones indicadoras
- Integral de funcion no negativa: supremo de integrales de funciones simples menores
- Teorema de convergencia monotona: limite de integrales igual a integral del limite
- Lema de Fatou: integral del liminf es menor o igual que liminf de integrales
- Teorema de convergencia dominada: si existe funcion integrable que domina, se puede intercambiar limite e integral
| Teorema | Enunciado | Aplicacion |
|---|---|---|
| Convergencia monotona | Si f_n aumenta a f, la integral de f_n converge a la integral de f | Demostrar intercambiabilidad |
| Lema de Fatou | Integral del liminf menor o igual que liminf de integrales | Estimar integrales limite |
| Convergencia dominada | Si f_n converge y esta dominada por g integrable, se intercambia limite e integral | Calcular limites de integrales |
| Espacios Lp | Funciones con p-esima potencia integrable | Analisis funcional |
Construccion de la integral
Se define primero para funciones simples, luego se extiende a funciones no negativas por aproximacion, y finalmente a funciones generales separando parte positiva y negativa.Teorema de convergencia dominada
Si una sucesion de funciones medibles converge puntualmente y existe una funcion integrable que las domina, entonces el limite de las integrales es la integral del limite.Espacios Lp
Los espacios Lp son espacios de funciones cuya p-esima potencia es integrable. Son espacios de Banach completos con la norma Lp, fundamentales en analisis funcional.
Paso 1 de 3
Piensa y responde: aplica lo aprendido sobre integral de Lebesgue y teoremas de convergencia.
Cual teorema permite intercambiar limite e integral cuando existe una funcion integrable que domina?
La integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann.
El teorema de convergencia permite intercambiar limite e integral cuando existe una funcion que domina. Los espacios son funciones con p-esima potencia integrable.
Relaciona cada teorema con su enunciado.
Clasifica cada espacio segun su tipo.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena la construccion de la integral de Lebesgue.
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
Por que el teorema de convergencia dominada es mas util que el de convergencia monotona en aplicaciones?
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Para dominar este tema, domina los teoremas de convergencia y espacios Lp.
- Teorema de convergencia monotona: para sucesiones crecientes
- Lema de Fatou: estimacion para liminf
- Teorema de convergencia dominada: intercambio limite-integral con dominante
- Espacios Lp: analisis funcional y ecuaciones diferenciales
Evaluacion de teoria de medida II
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