Topologia I: espacios topologicos
La topologia general estudia las propiedades del espacio que se conservan bajo deformaciones continuas. Es la base de toda la matematica moderna y conecta el analisis, el algebra y la geometria.
Espacios topologicos
Un espacio topologico es un conjunto X con una coleccion de subconjuntos llamados abiertos que cumplen: el vacio y X son abiertos, uniones arbitrarias de abiertos son abiertas, e intersecciones finitas de abiertos son abiertas.
| Concepto | Definicion | Ejemplo |
|---|---|---|
| Abierto | Pertenece a la topologia | Intervalo (a,b) en R |
| Cerrado | Su complemento es abierto | Intervalo [a,b] en R |
| Vecindad | Conjunto que contiene un abierto con el punto | Bolas abiertas |
| Base | Coleccion que genera la topologia | Intervalos abiertos en R |
Continuidad topologica
Una funcion f: X -> Y es continua si la preimagen de todo abierto de Y es un abierto de X. Esta es la definicion mas general de continuidad.Compacidad
Un espacio es compacto si de toda cubierta abierta se puede extraer una subcubierta finita. En R^n, compacto equivale a cerrado y acotado (Heine-Borel).Conexidad
Un espacio es conexo si no se puede escribir como union de dos abiertos disjuntos no vacios. Intuitivamente, esta en una sola pieza.
Paso 1 de 3
La topologia fue desarrollada en el siglo XX por matematicos como Hausdorff, Kuratowski y Bourbaki para unificar y rigorizar conceptos de analisis y geometria.
Piensa y responde
¿Que es un espacio topologico?
Un espacio compacto en R^n es cerrado y acotado.
Una funcion es si la preimagen de abierto es abierto, y un espacio es si toda cubierta abierta tiene subcubierta finita.
Relaciona cada propiedad con su descripcion:
Clasifica estos conjuntos segon sean abiertos o cerrados en R:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los axiomas de una topologia:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que la topologia es llamada la 'geometria de la banda de hule'?
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Para dominar este tema
- Define espacios topologicos
- Identifica abiertos y cerrados
- Comprende continuidad topologica
- Demuestra compacidad y conexidad
Topologia general
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
Comentarios
Inicia sesión para comentar.
Todavía no hay comentarios. Sé la primera persona en opinar.