Analisis complejo II: integrales y residuos
Las integrales de contorno en el plano complejo tienen propiedades extraordinarias. El teorema de Cauchy y la formula integral permiten calcular integrales reales dificiles usando tecnicas complejas.
Teorema de Cauchy
Si f(z) es analitica dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces la integral de f(z) a lo largo de C es cero. Este es el resultado mas importante del analisis complejo.
| Teorema | Enunciado | Aplicacion |
|---|---|---|
| Cauchy | Integral de analitica sobre contorno cerrado es 0 | Simplificar integrales |
| Formula integral | f(a) = (1/2pii) integral f(z)/(z-a) dz | Calcular valores |
| Residuos | Integral = 2pii * suma de residuos | Integrales dificiles |
Singularidades
Los puntos donde una funcion no es analitica se llaman singularidades. Pueden ser polos (la funcion tiende a infinito) o singularidades esenciales.Residuos
El residuo de f(z) en un polo es el coeficiente del termino 1/(z-a) en la expansion de Laurent. Permite calcular integrales facilmente.Transformaciones conformes
Las funciones analiticas preservan angulos entre curvas. Esta propiedad se usa en cartografia, aerodinamica y resolucion de ecuaciones diferenciales.
Paso 1 de 3
El teorema de los residuos permite calcular integrales reales imposibles con tecnicas elementales. Por ejemplo, la integral de 0 a infinito de sen(x)/x = Pi/2 usando analisis complejo.
Piensa y responde
¿Que dice el teorema de Cauchy?
El teorema de los residuos permite calcular integrales reales dificiles.
El teorema de los residuos dice que la integral es 2pii veces la suma de , y las transformaciones preservan angulos.
Relaciona cada teorema con su resultado:
Clasifica estos puntos segon su tipo de singularidad:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para calcular una integral con residuos:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Como crees que las transformaciones conformes ayudan en el diseno de alas de avion?
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Para dominar este tema
- Aplica el teorema de Cauchy
- Calcula residuos
- Usa transformaciones conformes
- Resuelve integrales dificiles
Analisis complejo II
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