Analisis complejo I: numeros y funciones complejas
El analisis complejo estudia funciones de variable compleja. Los numeros complejos extienden los reales con la unidad imaginaria i (donde i^2 = -1). Las funciones complejas tienen propiedades extraordinarias.
Numeros complejos
Un numero complejo z = a + bi tiene parte real a y parte imaginaria b. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Forman un campo algebraicamente cerrado.
| Operacion | Formula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Suma | (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i | (3+2i) + (1+4i) = 4+6i |
| Producto | (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i | (1+i)(1-i) = 2 |
| Modulo | |a+bi| = raiz(a^2+b^2) | |3+4i| = 5 |
| Conjugado | a+bi -> a-bi | Conjugado de 3+4i es 3-4i |
Funciones analiticas
Una funcion compleja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es analitica si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: du/dx = dv/dy y du/dy = -dv/dx.Propiedades magicas
Las funciones analiticas son infinitamente derivables, cumplen el teorema de Cauchy, y tienen representacion en series de Taylor. Son mucho mas rigidas que las reales.Aplicaciones
El analisis complejo se usa en aerodinamica, electrostatica, teoria de senales, mecanica cuantica y procesamiento de imagenes.
Paso 1 de 3
Augustin Cauchy y Bernhard Riemann desarrollaron el analisis complejo en el siglo XIX. La famosa formula de Euler e^(i*pi) + 1 = 0 conecta cinco constantes fundamentales.
Piensa y responde
¿Cual es el valor de i^2?
Toda funcion analitica es infinitamente derivable.
Las ecuaciones de - son du/dx = dv/dy y du/dy = -dv/dx, y la formula de Euler dice que e^(i*pi) + = 0.
Relaciona cada concepto con su descripcion:
Clasifica estos numeros segon su tipo:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para verificar si una funcion es analitica:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que los numeros complejos son tan utiles en fisica cuantica?
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Para dominar este tema
- Opera con numeros complejos
- Verifica condiciones de Cauchy-Riemann
- Comprende funciones analiticas
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Analisis complejo I
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