Calculo multivariable II: integrales multiples
Las integrales multiples extienden la integracion a funciones de varias variables. La integral doble calcula volumenes bajo superficies; la integral triple calcula masas y centros de gravedad de solidos.
Integrales dobles
La integral doble de f(x,y) sobre una region R calcula el volumen entre la superficie z = f(x,y) y el plano xy. Se evalua como integrales iteradas usando el teorema de Fubini.
| Tipo | Notacion | Aplicacion |
|---|---|---|
| Integral doble | Doble integral sobre R | Volumen bajo superficie |
| Integral triple | Triple integral sobre solido | Masa, centro de gravedad |
| Coordenadas polares | Cambio a (r, theta) | Regiones circulares |
| Cambio de variables | Jacobiano | Simplificar regiones |
Teorema de Fubini
Permite evaluar integrales multiples como integrales iteradas. Primero integramos respecto a una variable, luego respecto a la otra.Coordenadas polares
Para regiones circulares, conviene cambiar a coordenadas polares: x = r cos(theta), y = r sen(theta). El diferencial de area cambia a r dr d(theta).Aplicaciones
Calcular areas, volumenes, centros de masa, momentos de inercia, y probabilidades en distribuciones conjuntas.
Paso 1 de 3
Guido Fubini demostro su teorema en 1907, permitiendo calcular integrales multiples como sucesion de integrales simples. Es una herramienta indispensable en fisica e ingenieria.
Piensa y responde
¿Que calcula una integral doble?
El teorema de Fubini permite evaluar integrales dobles como iteradas.
En coordenadas polares, x = r cos(), y = r sen(theta), y el diferencial de area es r dr d().
Relaciona cada integral con su aplicacion:
Clasifica estas regiones segon el sistema de coordenadas mas conveniente:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para evaluar una integral doble con Fubini:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Como crees que las integrales multiples se usan en fisica para calcular centros de masa?
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Para dominar este tema
- Calcula integrales dobles y triples
- Aplica el teorema de Fubini
- Cambia a coordenadas polares
- Resuelve problemas de areas y volumenes
Integrales multiples
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