Geometria no euclidiana II: topologia
La topologia es la rama de las matematicas que estudia las propiedades que se conservan bajo deformaciones continuas, sin rompimientos ni pegaduras. Se le llama la geometria de la banda de hule porque todo se puede estirar y doblar.
Conceptos basicos
En topologia, una taza de cafe y una dona son lo mismo porque ambas tienen exactamente un agujero. Se pueden deformar continuamente una en la otra sin romper ni pegar nada.
| Superficie | Agujeros (genero) | Caracteristica de Euler |
|---|---|---|
| Esfera | 0 | 2 |
| Toro (dona) | 1 | 0 |
| Doble toro | 2 | -2 |
| Banda de Mobius | 1 (borde) | 0 |
Homeomorfismo
Dos superficies son homeomorfas si una se puede deformar continuamente en la otra. Una esfera no es homeomorfa a un toro porque tienen diferente numero de agujeros.Caracteristica de Euler
Se calcula como V - E + C (vertices menos aristas mas caras). Es un invariante topologico: no cambia sin importar como se deforme la superficie.Clasificacion
Toda superficie cerrada se clasifica por su genero (numero de agujeros) y su orientabilidad. Las superficies orientables son esfera, toro, doble toro, etc.
Paso 1 de 3
La topologia nacio en el siglo XIX con trabajos de Riemann, Poincare y otros. Hoy se aplica en analisis de datos, robotica, biologia molecular y hasta en el diseno de redes neuronales.
Piensa y responde
¿En topologia, que tienen en comun una taza y una dona?
La caracteristica de Euler de una esfera es 2.
La caracteristica de Euler se calcula como V - E + , donde V son vertices, E son y C son caras.
Relaciona cada superficie con su genero:
Clasifica estos objetos segun su topologia:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para calcular la caracteristica de Euler:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Como crees que la topologia se usa en el analisis de datos complejos?
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Para dominar este tema
- Comprende homeomorfismos
- Calcula la caracteristica de Euler
- Clasifica superficies por genero
- Identifica aplicaciones en ciencia de datos
Topologia basica
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