Algebra abstracta II: anillos y campos
Los anillos y campos son estructuras algebraicas con dos operaciones. Los anillos generalizan la aritmetica de los enteros, y los campos generalizan los numeros racionales y reales. Son fundamentales en criptografia y teoria de codigos.
Anillos
Un anillo es un conjunto R con dos operaciones (suma y multiplicacion) donde R es grupo abeliano con la suma, la multiplicacion es asociativa, y se cumple la distributividad. Si la multiplicacion es conmutativa y tiene identidad, es anillo conmutativo unitario.
| Estructura | Operaciones | Ejemplo |
|---|---|---|
| Grupo | Una operacion | Enteros con suma |
| Anillo | Dos operaciones | Enteros con suma y producto |
| Campo | Dos operaciones | Racionales con suma y producto |
Campos
Un campo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso multiplicativo. Los racionales, reales y complejos son campos.Ideales
Un ideal es un subconjunto de un anillo cerrado bajo suma y bajo multiplicacion por cualquier elemento del anillo. Generalizan el concepto de multiplos.Homomorfismos
Un homomorfismo de anillos preserva ambas operaciones. El nucleo de un homomorfismo siempre es un ideal.
Paso 1 de 3
La teoria de anillos y campos fue desarrollada en el siglo XIX por matematicos como Kummer, Dedekind y Noether. Emmy Noether revoluciono el algebra con su enfoque axiomatiko que hoy es estandar.
Piensa y responde
¿Cual de estas estructuras es un campo?
Todo campo es un anillo, pero no todo anillo es un campo.
Un anillo tiene operaciones, y un es un anillo donde todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.
Relaciona cada estructura con su ejemplo:
Clasifica estas estructuras segun su tipo:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena las estructuras de menor a mayor complejidad:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que Emmy Noether es considerada una de las matematicas mas importantes del siglo XX?
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Para dominar este tema
- Distingue entre grupos, anillos y campos
- Identifica ideales y homomorfismos
- Comprende extensiones de campos
- Reconoce aplicaciones en teoria de numeros
Anillos y campos
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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