Algebra abstracta I: teoria de grupos
El algebra abstracta estudia estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos. Los grupos son la estructura mas fundamental y aparecen en simetrias, criptografia, fisica de particulas y teoria de codigos.
Definicion de grupo
Un grupo es un conjunto G con una operacion binaria que cumple cuatro propiedades: cerradura, asociatividad, existencia de identidad y existencia de inversos. Si ademas cumple conmutatividad, se llama grupo abeliano.
| Propiedad | Condicion | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cerradura | a*b esta en G | Suma de enteros |
| Asociatividad | (ab)c = a(bc) | Multiplicacion de reales |
| Identidad | Existe e tal que a*e = a | El cero en la suma |
| Inverso | Para cada a existe a^-1 | El opuesto en la suma |
Subgrupos
Un subgrupo es un subconjunto de G que tambien es grupo con la misma operacion. Debe contener la identidad y ser cerrado bajo la operacion y la inversion.Orden de un grupo
El orden de un grupo es el numero de elementos que contiene. El orden de un elemento es el menor entero positivo n tal que a^n = e.Teorema de Lagrange
El orden de cualquier subgrupo divide al orden del grupo. Esto tiene consecuencias profundas en la estructura de los grupos.
Paso 1 de 3
Evariste Galois uso la teoria de grupos en 1832 para demostrar que no existe formula general para resolver ecuaciones de grado cinco o superior, resolviendo un problema abierto desde hacia siglos.
Piensa y responde
¿Cual de estas estructuras es un grupo?
Todo grupo abeliano es conmutativo.
Un grupo tiene propiedades fundamentales, y el teorema de establece que el orden de un subgrupo divide al orden del grupo.
Relaciona cada concepto con su definicion:
Clasifica estas estructuras segun sean grupos o no:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para verificar que un conjunto es grupo:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Como crees que la teoria de grupos se relaciona con la simetria de un cristal de nieve?
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Para dominar este tema
- Verifica las cuatro propiedades de grupo
- Identifica subgrupos
- Comprende el teorema de Lagrange
- Reconoce aplicaciones en criptografia
Teoria de grupos
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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