Transformadas II: series de Fourier
Las series de Fourier descomponen cualquier funcion periodica en una suma de senos y cosenos. Este descubrimiento de Joseph Fourier en 1807 revoluciono las matematicas y es la base de toda la tecnologia digital moderna.
Serie de Fourier
Toda funcion periodica f(t) con periodo T puede escribirse como suma de una constante, senos y cosenos de frecuencias multiples de la frecuencia fundamental. Los coeficientes se calculan con integrales.
| Coeficiente | Formula | Significado |
|---|---|---|
| a_0 | Integral de f(t) en un periodo | Valor promedio (componente DC) |
| a_n | Integral de f(t) cos(nwt) | Amplitud del coseno de frecuencia n |
| b_n | Integral de f(t) sen(nwt) | Amplitud del seno de frecuencia n |
Frecuencia fundamental
La frecuencia fundamental es 1/T, donde T es el periodo. Todas las demas frecuencias son multiplos enteros de esta.Armonicos
Los terminos con frecuencia n veces la fundamental se llaman armonicos. El primer armonico es la fundamental, el segundo es el doble, etc.Convergencia
La serie converge a la funcion original en puntos de continuidad. En puntos de discontinuidad, converge al promedio de los limites laterales (fenomeno de Gibbs).
Paso 1 de 3
El teorema de Parseval establece que la energia total de la senal es igual a la suma de las energias de sus componentes de frecuencia. Esto conecta el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia.
Piensa y responde
¿Que representa el coeficiente a_0 en la serie de Fourier?
En una discontinuidad, la serie de Fourier converge al promedio de los limites laterales.
Los coeficientes de Fourier se calculan mediante definidas en un periodo, y las frecuencias presentes son multiplos de la frecuencia .
Relaciona cada concepto con su descripcion:
Clasifica estas aplicaciones segun usen series o transformadas de Fourier:
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Ordena los pasos para calcular la serie de Fourier de una funcion:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que los musicos pueden distinguir instrumentos diferentes aunque toquen la misma nota?
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Para dominar este tema
- Calcula coeficientes de Fourier
- Interpreta el significado fisico de los armonicos
- Comprende el teorema de Parseval
- Identifica aplicaciones en procesamiento de senales
Series de Fourier
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