Teoremas fundamentales II: teorema de Gauss
El teorema de Gauss (o de la divergencia) conecta el flujo de un campo vectorial a traves de una superficie cerrada con la integral triple de la divergencia en el volumen encerrado. Es una de las herramientas mas poderosas del calculo vectorial.
Teorema de la divergencia
El teorema establece que el flujo total saliente de un volumen es igual a la integral de la divergencia en ese volumen. Si la divergencia es positiva, hay fuentes; si es negativa, sumideros.
- Teorema de Gauss: ∫∫_S F·dS = ∫∫∫_E ∇·F dV.
- S es superficie cerrada que encierra el volumen E.
- El vector normal apunta hacia afuera de la superficie.
- Interpretacion: flujo total = suma de fuentes internas.
- Caso especial: si ∇·F = 0, el flujo neto es cero (campo solenoidal).
- Ley de Gauss para electricidad: ∫∫E·dS = Q/ε₀.
- Ley de Gauss para magnetismo: ∫∫B·dS = 0 (no hay monopolos).
| Teorema | Enuncia | Aplicacion |
|---|---|---|
| Green (2D) | ∮F·dr = ∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dA | Areas, fluidos 2D |
| Stokes (3D sup.) | ∮F·dr = ∫∫(∇×F)·dS | Electromagnetismo, fluidos |
| Gauss (3D vol.) | ∫∫F·dS = ∫∫∫∇·F dV | Electricidad, gravedad |
| Fundamental | ∫ₐᵇ f'dx = f(b)-f(a) | Base de todos los demas |
Paso 1: Verificar que S es cerrada
El teorema de Gauss requiere una superficie cerrada. Si no lo es, no se puede aplicar directamente.Paso 2: Calcular la divergencia
∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.Paso 3: Plantear integral triple
∫∫∫_E ∇·F dV. Elige coordenadas apropiadas (cartesianas, cilindricas o esfericas).Paso 4: Evaluar
Resuelve la integral triple. El resultado es el flujo total a traves de S.
Paso 1 de 4
El teorema de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell. La ley de Gauss para electricidad permite calcular campos electricos de distribuciones simetricas de carga de forma muy sencilla.
Piensa y responde
¿Que establece el teorema de Gauss?
Si la divergencia de un campo es cero en todo el volumen, el flujo neto por la superficie es cero.
La ley de Gauss para el magnetismo establece que ∫∫B·dS = . Esto significa que no existen magneticos.
Relaciona cada ley de Gauss con su enunciado:
Clasifica estos campos segun su divergencia:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para aplicar Gauss y calcular el flujo de F=(x,y,z) por la esfera x²+y²+z²=1:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar de forma tan compacta con el calculo vectorial?
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Para dominar este tema
- Aplica el teorema de Gauss para calcular flujo.
- Calcula divergencia de campos vectoriales.
- Interpreta fisicamente divergencia y flujo.
- Comprende las leyes de Gauss en electromagnetismo.
- Conecta los teoremas fundamentales entre si.
Teorema de Gauss
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