Teoremas fundamentales I: Green y Stokes
Los teoremas de Green y Stokes conectan integrales de linea con integrales de superficie. Son generalizaciones del teorema fundamental del calculo y herramientas poderosas para simplificar calculos complejos.
Teorema de Green
El teorema de Green relaciona la integral de linea alrededor de una curva cerrada con la integral doble sobre la region encerrada. Es la version 2D del teorema de Stokes.
- Teorema de Green: ∮_C P·dx + Q·dy = ∫∫_R (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA.
- Curva C orientada positivamente (contrario a las manecillas del reloj).
- Version flujo: ∮_C F·n ds = ∫∫_R ∇·F dA (teorema de la divergencia 2D).
- Teorema de Stokes: ∮_C F·dr = ∫∫_S (∇×F)·dS (version 3D de Green).
- Condiciones: F debe ser continuamente diferenciable en la region.
- Aplicaciones: calcular areas, simplificar integrales complejas.
- Area con Green: A = (1/2)∮_C x·dy - y·dx.
| Teorema | Dimension | Conecta |
|---|---|---|
| Fundamental del calculo | 1D | Integral de derivada = diferencia en extremos |
| Green | 2D | Integral de linea cerrada = integral doble |
| Stokes | 3D (superficie) | Integral de linea = integral de superficie |
| Gauss/Divergencia | 3D (volumen) | Flujo por superficie cerrada = integral triple |
| Generalizado | nD | Integral en frontera = integral del interior |
Paso 1: Identificar el teorema aplicable
¿Es curva cerrada en 2D? Usa Green. ¿Es superficie en 3D? Usa Stokes. ¿Es volumen? Usa Gauss.Paso 2: Verificar condiciones
El campo debe ser diferenciable en la region. La curva debe ser cerrada y orientada correctamente.Paso 3: Calcular la integral del lado derecho
Calcula la integral doble (Green) o de superficie (Stokes) que suele ser mas simple.Paso 4: Concluir
Por el teorema, la integral de linea original es igual a la integral calculada.
Paso 1 de 4
Estos teoremas son la columna vertebral del electromagnetismo. Las ecuaciones de Maxwell se expresan con estos teoremas. La ley de Faraday y la ley de Ampere son aplicaciones directas del teorema de Stokes.
Piensa y responde
¿Que relaciona el teorema de Green?
El teorema de Stokes es una generalizacion del teorema de Green a 3 dimensiones.
El teorema de Green permite calcular areas con la formula A = (1/2)∮_C ·dy - ·dx.
Relaciona cada teorema con su dimension:
Clasifica estos problemas segun el teorema mas apropiado:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para usar Green y calcular ∮_C (x²y)dx + (xy²)dy sobre el circulo unitario:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que todos estos teoremas son versiones diferentes del mismo principio fundamental?
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Para dominar este tema
- Aplica el teorema de Green para simplificar integrales.
- Aplica el teorema de Stokes en 3D.
- Calcula areas usando integrales de linea.
- Comprende la conexion entre frontera e interior.
- Interpreta fisicamente estos teoremas.
Teoremas fundamentales
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