Calculo vectorial II: integrales de linea y superficie
Las integrales de linea y superficie extienden el calculo integral a campos vectoriales. Permiten calcular trabajo, flujo, area de superficies y son la base de los teoremas fundamentales del calculo vectorial.
Integrales de linea
La integral de linea integra una funcion o campo a lo largo de una curva. Hay dos tipos: integral de escalar (longitud ponderada) e integral de vector (circulacion/trabajo).
- Integral de linea de escalar: ∫_C f ds = ∫f(r(t))|r'(t)|dt.
- Integral de linea de vector: ∫_C F·dr = ∫F(r(t))·r'(t)dt.
- Circulacion: integral de linea cerrada de un campo vectorial.
- Trabajo: W = ∫_C F·dr. Fuerza por desplazamiento a lo largo de una curva.
- Independencia de trayectoria: si F es conservativo, la integral solo depende de los extremos.
- Teorema fundamental de integrales de linea: ∫∇f·dr = f(b) - f(a).
- Superficie parametrizada: r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)).
| Tipo | Formula | Interpretacion |
|---|---|---|
| Linea (escalar) | ∫_C f ds | Longitud ponderada de la curva |
| Linea (vector) | ∫_C F·dr | Trabajo o circulacion |
| Superficie (escalar) | ∫∫_S f dS | Masa de la superficie |
| Superficie (vector) | ∫∫_S F·dS | Flujo a traves de la superficie |
| Doble integral | ∫∫_R f dA | Volumen bajo la superficie |
| Integral triple | ∫∫∫_E f dV | Masa del solido |
Paso 1: Parametrizar la curva
Escribe la curva C como r(t) = (x(t), y(t), z(t)) para t en [a, b].Paso 2: Calcular r'(t)
Deriva la parametrizacion: r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)).Paso 3: Evaluar el campo
Sustituye r(t) en F para obtener F(r(t)).Paso 4: Calcular producto punto e integrar
Calcula F(r(t))·r'(t) e integra de a a b.
Paso 1 de 4
Las integrales de linea calculan el trabajo de una fuerza a lo largo de una trayectoria. Las integrales de superficie calculan el flujo de un campo a traves de una superficie. Son esenciales en electromagnetismo y mecanica de fluidos.
Piensa y responde
¿Que calcula la integral de linea ∫_C F·dr?
Si F es conservativo, la integral de linea solo depende de los puntos inicial y final, no de la trayectoria.
El flujo de un campo F a traves de una superficie S se calcula con la integral de superficie ∫∫_S · .
Relaciona cada integral con su interpretacion fisica:
Clasifica estas integrales segun su dimension:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para calcular ∫_C F·dr donde F=(y,x) y C es r(t)=(t,t²) de 0 a 1:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que el trabajo de la gravedad no depende de la trayectoria sino solo de la altura?
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Para dominar este tema
- Parametriza curvas y superficies.
- Calcula integrales de linea de escalares y vectores.
- Calcula integrales de superficie y flujo.
- Aplica el teorema fundamental de integrales de linea.
- Interpreta fisicamente trabajo y flujo.
Integrales vectoriales
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