Calculo vectorial I: campos vectoriales
Un campo vectorial asigna un vector a cada punto del espacio. Se usan para representar fuerzas, velocidades de fluidos, campos electricos y magneticos. El calculo vectorial estudia como cambian estos campos.
Operadores del calculo vectorial
Tres operadores fundamentales describen el comportamiento de campos vectoriales: gradiente (de escalar a vector), divergencia (de vector a escalar) y rotacional (de vector a vector).
- Campo vectorial: F(x,y,z) = (P, Q, R) asigna un vector a cada punto.
- Gradiente: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z). Direccion de maximo crecimiento.
- Divergencia: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Mide fuentes y sumideros.
- Rotacional: ∇×F. Mide la rotacion del campo.
- Laplaciano: ∇²f = ∇·(∇f). Segunda derivada espacial.
- Campo conservativo: F = ∇f para alguna funcion potencial f.
- Teorema de Green, Stokes y Gauss: conectan integrales.
| Operador | Notacion | Entrada → Salida | Significado |
|---|---|---|---|
| Gradiente | ∇f | Escalar → Vector | Direccion de maximo crecimiento |
| Divergencia | ∇·F | Vector → Escalar | Fuentes y sumideros |
| Rotacional | ∇×F | Vector → Vector | Rotacion del campo |
| Laplaciano | ∇²f | Escalar → Escalar | Difusion, equilibrio |
| Flujo | ∫∫F·dA | Vector → Escalar | Cantidad que atraviesa superficie |
| Circulacion | ∫F·dr | Vector → Escalar | Trabajo a lo largo de curva |
Paso 1: Calcular gradiente
Deriva parcialmente la funcion escalar respecto a cada variable: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z).Paso 2: Calcular divergencia
Suma las derivadas parciales de las componentes: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.Paso 3: Calcular rotacional
Usa el determinante con i, j, k y las derivadas parciales de las componentes.Paso 4: Interpretar
Gradiente: direccion de maximo crecimiento. Divergencia positiva = fuente. Rotacional = rotacion.
Paso 1 de 4
El calculo vectorial es esencial en electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), mecanica de fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes), graficos 3D (iluminacion y normales), y machine learning (descenso de gradiente).
Piensa y responde
Si f(x,y) = x² + y², ¿cual es ∇f?
Si la divergencia de un campo es cero en todo punto, el campo no tiene fuentes ni sumideros.
El gradiente apunta en la direccion de maximo . La divergencia mide si un punto es o sumidero.
Relaciona cada operador con su resultado:
Clasifica estos campos segun su divergencia:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para calcular ∇f si f = x²y + y³:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que el descenso de gradiente es el algoritmo fundamental del machine learning?
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Para dominar este tema
- Calcula gradientes de funciones escalares.
- Calcula divergencia y rotacional de campos vectoriales.
- Interpreta geometricamente cada operador.
- Identifica campos conservativos.
- Aplica el calculo vectorial en fisica e ingenieria.
Calculo vectorial I
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