Probabilidad avanzada II: distribuciones continuas
Las variables aleatorias continuas toman valores en un intervalo. En vez de probabilidades puntuales, se usan funciones de densidad y la probabilidad es el area bajo la curva.
Funcion de densidad
La funcion de densidad f(x) describe la distribucion de probabilidad de una variable continua. La probabilidad de un intervalo es el area bajo f(x) en ese intervalo.
- Funcion de densidad: f(x) ≥ 0 para todo x.
- Area total: ∫f(x)dx = 1 (de -∞ a +∞).
- Probabilidad: P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx de a a b.
- P(X = valor exacto) = 0 para variables continuas.
- Funcion de distribucion acumulada: F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(t)dt de -∞ a x.
- Distribucion normal: f(x) = (1/σ√(2π))·e^(-(x-μ)²/(2σ²)).
- Distribucion exponencial: f(x) = λ·e^(-λx) para x ≥ 0.
| Distribucion | Parametros | E(X) | Usos |
|---|---|---|---|
| Normal | μ (media), σ (desviacion) | μ | Alturas, errores, test |
| Exponencial | λ (tasa) | 1/λ | Tiempos de espera |
| Uniforme | a (min), b (max) | (a+b)/2 | Numeros aleatorios |
| Gamma | α (forma), β (escala) | αβ | Tiempos de vida |
| Weibull | k (forma), λ (escala) | λ·Γ(1+1/k) | Fiabilidad industrial |
Paso 1: Identificar la distribucion
Determina que distribucion continua modela el fenomeno: Normal, Exponencial, Uniforme, etc.Paso 2: Estandarizar (si es Normal)
Convierte X a Z: z = (x-μ)/σ. Usa la tabla de la normal estandar.Paso 3: Calcular probabilidad
Para Normal: busca en tabla Z. Para Exponencial: P(X ≤ x) = 1 - e^(-λx).Paso 4: Interpretar
La probabilidad es el area bajo la curva. Interpreta en el contexto del problema.
Paso 1 de 4
Las distribuciones continuas modelan tiempos de espera (exponencial), alturas y pesos (normal), llegadas de autobuses (uniforme) y vida util de productos (Weibull).
Piensa y responde
¿Cual es la probabilidad de que una variable normal estandar Z sea exactamente 0?
La distribucion exponencial modela el tiempo entre llegadas de un proceso de Poisson.
En la distribucion normal, el % de los datos esta entre μ-σ y μ+σ, y el % entre μ-2σ y μ+2σ.
Relaciona cada distribucion con su aplicacion tipica:
Clasifica estas distribuciones segun la forma de su densidad:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para encontrar P(X ≤ 120) con μ=100, σ=15:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que la distribucion normal es tan frecuente en la naturaleza?
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Para dominar este tema
- Comprende la diferencia entre densidad y probabilidad.
- Calcula probabilidades con la distribucion normal.
- Estandariza variables normales a Z.
- Usa la distribucion exponencial para tiempos de espera.
- Interpreta areas bajo la curva en contexto real.
Distribuciones continuas
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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