Geometria analitica avanzada II: coordenadas polares
Las coordenadas polares representan puntos usando distancia al origen (r) y angulo (θ). Son utiles para describir curvas circulares, espirales y fenomenos periodicos.
Sistema de coordenadas polares
Un punto P se representa como (r, θ) donde r es la distancia al origen y θ es el angulo medido desde el eje positivo x en sentido antihorario.
- Coordenadas polares: (r, θ) con r ≥ 0 y θ en radianes.
- Conversion: x = r·cos(θ), y = r·sen(θ).
- Conversion inversa: r = √(x²+y²), θ = arctan(y/x).
- Angulos: 0° = 0 rad, 90° = π/2 rad, 180° = π rad, 270° = 3π/2 rad.
- r negativo: el punto se refleja respecto al origen.
- Multiples representaciones: (r, θ) = (r, θ+2π) = (-r, θ+π).
- Curvas polares: rosa, cardioide, lemniscata, espiral.
| Polar (r,θ) | Cartesiana (x,y) | Conversion |
|---|---|---|
| (5, 0°) | (5, 0) | x=5cos0=5, y=5sen0=0 |
| (3, 90°) | (0, 3) | x=3cos90°=0, y=3sen90°=3 |
| (4, 60°) | (2, 2√3) | x=4cos60°=2, y=4sen60°=2√3 |
| (2, π) | (-2, 0) | x=2cosπ=-2, y=2senπ=0 |
| (√2, π/4) | (1, 1) | x=√2cos(π/4)=1, y=√2sen(π/4)=1 |
Paso 1: Polar a cartesiana
Dado (r, θ): x = r·cos(θ), y = r·sen(θ). Calcula ambas coordenadas.Paso 2: Cartesiana a polar
Dado (x, y): r = √(x²+y²), θ = arctan(y/x). Ajusta θ segun el cuadrante.Paso 3: Graficar en polar
Para r = f(θ), evalua r para varios θ y traza los puntos en el plano polar.Paso 4: Identificar curvas
r = a: circulo. r = a+bθ: espiral. r = a·cos(nθ): rosa. r = a(1+cos θ): cardioide.
Paso 1 de 4
Las coordenadas polares se usan en radar, sonar, antenas parablicas, modelado de patrones de radiacion, diseno de engranajes y en la descripcion de fenomenos naturales como la disposicion de semillas en un girasol.
Piensa y responde
¿Cuales son las coordenadas cartesianas de (4, π/3)?
El punto (3, π/4) es el mismo que (3, 9π/4).
Para convertir (x,y) a polar: r = √(x²+) y θ = (y/x).
Relaciona cada curva polar con su ecuacion:
Clasifica estas coordenadas polares segun su cuadrante:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para convertir (3, 4) a coordenadas polares:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que los radares usan coordenadas polares en vez de cartesianas?
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Para dominar este tema
- Representa puntos en coordenadas polares.
- Convierte entre coordenadas cartesianas y polares.
- Grafica curvas polares basicas.
- Identifica curvas polares por su ecuacion.
- Aplica coordenadas polares en problemas reales.
Coordenadas polares
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