Matrices avanzadas I: operaciones y determinantes
Las matrices son arreglos rectangulares de numeros. Se usan para representar sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales, datos en ciencia de datos y mucho mas.
Operaciones con matrices
Las operaciones basicas con matrices son suma, producto por escalar, multiplicacion de matrices, transpuesta, determinante e inversa.
- Suma: (A+B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ (mismas dimensiones).
- Escalar: (kA)ᵢⱼ = k·Aᵢⱼ.
- Producto: (AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ·Bₖⱼ (columnas de A = filas de B).
- Transpuesta: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ (intercambia filas y columnas).
- Determinante 2x2: det([a,b;c,d]) = ad - bc.
- Determinante 3x3: regla de Sarrus o expansion por cofactores.
- Inversa: A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A), existe si det(A) ≠ 0.
| Propiedad | Formula | Nota |
|---|---|---|
| Conmutativa suma | A + B = B + A | Siempre se cumple |
| No conmutativa producto | AB ≠ BA | En general no conmutan |
| Asociativa producto | (AB)C = A(BC) | Se cumple |
| Distributiva | A(B+C) = AB + AC | Se cumple |
| Transpuesta producto | (AB)ᵀ = BᵀAᵀ | Se invierte el orden |
| Inversa producto | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ | Se invierte el orden |
Paso 1: Calcular determinante
Para 2x2: det = ad-bc. Para 3x3: usa Sarrus o cofactores. Si det ≠ 0, la matriz es invertible.Paso 2: Encontrar adjunta
Calcula la matriz de cofactores y luego la transpuesta (matriz adjunta).Paso 3: Calcular inversa
A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A). Multiplica la adjunta por 1/determinante.Paso 4: Resolver sistema
Si Ax = b, entonces x = A⁻¹b. Multiplica la inversa por el vector de terminos independientes.
Paso 1 de 4
Las matrices son esenciales en computacion grafica (transformaciones 3D), machine learning (redes neuronales), economia (modelos input-output), fisica (mecanica cuantica) y criptografia (codificacion).
Piensa y responde
¿Cual es el determinante de [3, 1; 2, 4]?
La multiplicacion de matrices es conmutativa: AB = BA.
Una matriz es invertible si y solo si su determinante es a .
Relaciona cada concepto con su definicion:
Clasifica estas matrices segun si son invertibles:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para resolver Ax = b usando la inversa:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que la multiplicacion de matrices no es conmutativa?
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Para dominar este tema
- Realiza operaciones con matrices (suma, producto, transpuesta).
- Calcula determinantes de matrices 2x2 y 3x3.
- Encuentra la inversa de una matriz.
- Resuelve sistemas de ecuaciones usando matrices.
- Interpreta el significado del determinante.
Matrices avanzadas I
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
Comentarios
Inicia sesión para comentar.
Todavía no hay comentarios. Sé la primera persona en opinar.