Algebra lineal I: vectores
Los vectores son cantidades con magnitud y direccion. Se usan en fisica para representar fuerzas, velocidades, aceleraciones. En matematicas, son elementos de un espacio vectorial.
Operaciones con vectores
Un vector en R³ se escribe como v = (v₁, v₂, v₃). Las operaciones basicas son suma, resta, multiplicacion por escalar, producto punto y producto cruz.
- Suma: (a₁,a₂,a₃) + (b₁,b₂,b₃) = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃).
- Resta: a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃).
- Escalar: k·(a₁,a₂,a₃) = (ka₁, ka₂, ka₃).
- Magnitud: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²).
- Producto punto: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos(θ).
- Producto cruz: a×b = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁).
- Vector unitario: u = v/|v|.
| Operacion | Formula | Resultado |
|---|---|---|
| Suma | a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) | Vector |
| Producto punto | a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | Escalar |
| Producto cruz | a×b = (a₂b₃-a₃b₂, ...) | Vector perpendicular |
| Magnitud | |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) | Escalar positivo |
| Angulo | cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) | Angulo entre vectores |
| Proyeccion | proj_b(a) = (a·b/|b|²)b | Vector |
Paso 1: Producto punto
Calcula a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Si es 0, los vectores son perpendiculares.Paso 2: Magnitudes
Calcula |a| = √(a₁²+a₂²+a₃²) y |b| = √(b₁²+b₂²+b₃²).Paso 3: Angulo
Usa cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) para encontrar el angulo entre los vectores.Paso 4: Producto cruz
Calcula a×b usando determinantes. El resultado es perpendicular a ambos vectores.
Paso 1 de 4
Los vectores son esenciales en fisica (fuerzas, campos electricos, magnetismo), computacion grafica (normales, iluminacion), ingenieria (esfuerzos, deformaciones) y machine learning (espacios de caracteristicas).
Piensa y responde
¿Cual es el producto punto de a = (1,2,3) y b = (4,5,6)?
Si el producto punto de dos vectores es 0, entonces son perpendiculares.
La magnitud del vector v = (3, 4) es |v| = √(9 + 16) = √ = .
Relaciona cada operacion con su tipo de resultado:
Clasifica estas propiedades segun la operacion que las cumple:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para encontrar el angulo entre a = (1,0) y b = (0,1):
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que el producto cruz solo esta definido en 3 dimensiones y no en 2?
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Para dominar este tema
- Realiza operaciones con vectores en 2D y 3D.
- Calcula magnitudes y vectores unitarios.
- Aplica producto punto para encontrar angulos.
- Aplica producto cruz para encontrar vectores perpendiculares.
- Interpreta geometricamente las operaciones vectoriales.
Algebra lineal I: vectores
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