Medidas de dispersión
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Por qué no basta el centro
Las medidas de centralización dan un valor típico, pero ocultan si los datos están pegados a él o repartidos. La nota media 5 puede salir de todos los suspensos o de un reparto entre dieces y ceros. La dispersión revela esa diferencia invisible en la media.
El rango
La medida más simple: máximo menos mínimo. Dice el ancho total del dato, pero depende de solo dos valores extremos y se dispara con un único atípico. Útil como primer vistazo, insuficiente como resumen.
Desviaciones respecto al centro
Para medir dispersión se mira cuánto se desvía cada valor de la media. Sumar desviaciones no sirve (positivas y negativas se cancelan), así que se trabaja con sus cuadrados o con sus valores absolutos. De ahí nacen varianza y desviación típica.
Varianza
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media. Al elevar al cuadrado, penaliza más las separaciones grandes y evita cancelaciones. Su inconveniente: está en unidades cuadradas, difíciles de interpretar directamente.
Desviación típica
La raíz cuadrada de la varianza devuelve la escala original: la desviación típica mide la separación típica de los datos respecto a la media. Es la medida de dispersión más usada porque comparte unidades con el dato y permite frases como «valor típico más o menos una desviación».
Grados de libertad y n menos uno
Al estimar la varianza de una población desde una muestra, se divide entre n menos uno, no entre n. Ese ajuste corrige que la media muestral ya se calculó con los datos y «gasta» un grado de libertad; sin él, la varianza se subestimaría sistemáticamente.
Rango intercuartílico
El RIC, ancho de la mitad central, es la medida de dispersión robusta: no le afectan los extremos. Mientras la desviación típica se dispara con un atípico, el RIC describe con estabilidad cuánto se separan los valores típicos.
Coeficiente de variación
Dividir la desviación típica entre la media da el coeficiente de variación, un porcentaje adimensional que permite comparar dispersión entre variables de escalas distintas: la variabilidad relativa de los ingresos frente a la de la edad.
- Observa primero el rango y el RIC para una idea rápida y robusta.
- Calcula la desviación típica si la distribución es razonablemente simétrica.
- Compara variables heterogéneas con el coeficiente de variación.
- Revisa si hay atípicos que inflen la varianza antes de fiarte de ella.
Unidades y sensibilidad al escalado
Cambiar de metros a centímetros multiplica la desviación típica por cien: no es adimensional. La varianza se multiplica por el cuadrado. Por eso el coeficiente de variación, al dividir por la media, queda libre de unidades y permite comparaciones justas.
Dispersión y forma
La misma desviación típica puede venir de datos simétricos o de una distribución bimodal con dos racimos. La dispersión resume el esparcimiento pero no su estructura: hay que acompañarla de la forma que mostró el histograma.
| Medida | Qué usa | Robusta a extremos |
|---|---|---|
| Rango | mínimo y máximo | no |
| Desviación típica | todas las desviaciones al cuadrado | no |
| RIC | mitad central ordenada | sí |
| Coeficiente de variación | desviación entre media | depende de la desviación |
Dos grupos tienen la misma media, pero el grupo A tiene mayor desviación típica que el B. ¿Qué se concluye?
Varianza de una combinación
La varianza no se suma como los promedios: la de una suma depende de la covarianza entre términos. Para variables independientes, las varianzas se suman. Este comportamiento es la semilla de por qué promediar reduce el ruido.
Por qué cuadrados
Usar desviaciones al cuadrado, en lugar de valores absolutos, da una función suave y derivable, con buenas propiedades algebraicas y estadísticas (minimiza, centralidad en la normal). La desviación media absoluta existe, pero la varianza reina por su tractabilidad.
Errores frecuentes
- Interpretar una varianza en unidades cuadradas como si fuera la escala del dato.
- Comparar dispersiones de variables con distintas unidades sin normalizar.
- Dividir la varianza muestral entre n en lugar de n menos uno al estimar una población.
La desviación típica comparte unidades con los datos originales, a diferencia de la varianza.
Dispersión en el día a día
Fiabilidad de un componente, consistencia de un proceso, desigualdad de ingresos: casi toda pregunta de calidad o de equidad es una pregunta sobre la dispersión. Medirla bien es medir la constancia, no solo el promedio.
Medidas de dispersión
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Seeing TheoryVisualización interactiva de varianza y desviación típica.
Dos fábricas promedian 500 unidades por turno con desviaciones de 10 y de 90. Explica qué significa esa diferencia para la planificación y si el coeficiente de variación ayudaría.
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