Funciones cuadráticas: la curva en forma de U
Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Su gráfica es una parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (forma de U); si a < 0, abre hacia abajo (forma de U invertida). El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola.
Características de la parábola
Toda parábola tiene: vértice (punto extremo), eje de simetría (línea vertical que divide la parábola en dos mitades iguales), punto de intersección con el eje Y (cuando x=0, y=c), y puntos de intersección con el eje X (las raíces de la ecuación ax² + bx + c = 0).
- Vértice: punto (h, k) donde h = -b/(2a), k = f(h)
- Eje de simetría: línea vertical x = -b/(2a)
- Intersección con eje Y: punto (0, c)
- Intersecciones con eje X: raíces de ax² + bx + c = 0
- Si a > 0: parábola abre hacia arriba (mínimo en vértice)
- Si a < 0: parábola abre hacia abajo (máximo en vértice)
| Valor de a | Forma | Vértice | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| a > 0 | Abre hacia arriba (U) | Mínimo | f(x) = x² |
| a < 0 | Abre hacia abajo (U invertida) | Máximo | f(x) = -x² |
| |a| grande | Parábola estrecha | Más cerrada | f(x) = 5x² |
| |a| pequeño | Parábola ancha | Más abierta | f(x) = 0.2x² |
Paso 1: Identifica a, b, c
De f(x) = ax² + bx + c, extrae los coeficientes. Ejemplo: f(x) = 2x² - 4x + 1 → a=2, b=-4, c=1.Paso 2: Calcula el vértice
h = -b/(2a) = -(-4)/(2×2) = 4/4 = 1. k = f(1) = 2(1)² - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1. Vértice: (1, -1).Paso 3: Encuentra intersecciones
Eje Y: x=0 → y=c=1. Punto (0, 1). Eje X: resuelve 2x² - 4x + 1 = 0 con fórmula general.Paso 4: Grafica
Ubica vértice, intersecciones, y puntos adicionales (tabla de valores). Une con curva suave.
Paso 1 de 4
Las funciones cuadráticas modelan trayectorias de proyectiles, diseño de antenas parabólicas, optimización de áreas y ganancias en economía.
Piensa y responde
Si a > 0 en una función cuadrática, ¿hacia dónde abre la parábola?
El vértice de una parábola es siempre el punto más bajo.
La coordenada x del vértice se calcula como h = -b / .
Relaciona cada característica con su descripción:
Clasifica las siguientes parábolas según abran hacia arriba o hacia abajo:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para graficar f(x) = x² - 4x + 3:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por qué las antenas parabólicas tienen forma de parábola? Explica cómo la propiedad de reflexión de las parábolas se aplica en tecnología.
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Para dominar este tema
- f(x) = ax² + bx + c, la gráfica es una parábola
- a > 0: abre hacia arriba; a < 0: abre hacia abajo
- Vértice: (-b/(2a), f(-b/(2a)))
- Eje de simetría: x = -b/(2a)
- Intersecciones: eje Y en (0,c), eje X en las raíces
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