Ecuaciones cuadráticas: la potencia de x²
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números y a ≠ 0. La incógnita x está elevada al cuadrado. Estas ecuaciones tienen dos soluciones (llamadas raíces), que pueden ser números reales distintos, un número real repetido, o no tener soluciones reales.
Métodos de resolución
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización (descomponer en factores), completar el cuadrado, y la fórmula general. La fórmula general funciona para todas las ecuaciones cuadráticas y es: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
- Forma general: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Fórmula general: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
- Discriminante: Δ = b² - 4ac (determina número de soluciones)
- Si Δ > 0: dos soluciones reales distintas
- Si Δ = 0: una solución real repetida
- Si Δ < 0: no hay soluciones reales (soluciones complejas)
| Método | Cuándo usarlo | Ejemplo |
|---|---|---|
| Factorización | Cuando es fácil factorizar | x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 |
| Fórmula general | Siempre funciona | 2x² + 3x - 2 = 0 → usar fórmula |
| Completar cuadrado | Cuando a=1 y b es par | x² + 6x + 9 = 0 → (x+3)² = 0 |
| Raíz cuadrada | Cuando no hay término lineal | x² = 16 → x = ±4 |
Paso 1: Identifica a, b, c
De la ecuación ax² + bx + c = 0, extrae los coeficientes. Ejemplo: 2x² - 5x + 3 = 0 → a=2, b=-5, c=3.Paso 2: Calcula el discriminante
Δ = b² - 4ac. Ejemplo: (-5)² - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1. Como Δ > 0, hay dos soluciones reales.Paso 3: Aplica la fórmula general
x = (-b ± √Δ) / (2a). Ejemplo: x = (5 ± √1) / 4 = (5 ± 1) / 4. Entonces x₁ = 6/4 = 3/2, x₂ = 4/4 = 1.Paso 4: Verifica las soluciones
Sustituye cada solución en la ecuación original para comprobar que es correcta.
Paso 1 de 4
Las ecuaciones cuadráticas modelan trayectorias de proyectiles, áreas máximas, puntos de equilibrio en economía y muchos fenómenos físicos donde la aceleración es constante.
Piensa y responde
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática si el discriminante es positivo?
La fórmula general funciona para resolver cualquier ecuación cuadrática.
El discriminante de una ecuación cuadrática se calcula como Δ = b² - .
Relaciona cada valor del discriminante con el número de soluciones:
Clasifica los siguientes métodos según su aplicabilidad para resolver ecuaciones cuadráticas:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Resuelve: x² - 5x + 6 = 0 usando factorización:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por qué las ecuaciones cuadráticas son importantes en física? Da un ejemplo de un fenómeno que se modela con una ecuación cuadrática.
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Para dominar este tema
- Forma general: ax² + bx + c = 0
- Fórmula general: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
- Discriminante: Δ > 0 (2 soluciones), Δ = 0 (1 solución), Δ < 0 (sin soluciones)
- Métodos: factorización, fórmula general, completar cuadrado
- Las cuadráticas modelan trayectorias, áreas, equilibrio
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Comentarios
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