Distribución de Poisson
Mapa conceptual
- Probabilidad
- Basica
- Espacio muestral
- Eventos
- Regla suma
- Condicional
- Independencia
- Bayes
- Particion
- Discreta
- Esperanza
- Varianza
- Binomial Poisson
- Continua
- Densidad
- CDF
- Normal
- Basica
El fenómeno que modela
Imagina eventos que ocurren de forma aislada e independiente a lo largo del tiempo o del espacio, con un ritmo medio estable. Preguntarse cuántos caerán en un intervalo fijo lleva a la Poisson, que da la probabilidad de observar exactamente k eventos.
El parámetro lambda
La Poisson tiene un solo parámetro, lambda: el número medio de eventos por intervalo. La probabilidad de ver k eventos es e elevado a menos lambda, por lambda elevado a k, partido por k!. Y tanto la esperanza como la varianza valen lambda: media y dispersión coinciden, firma inconfundible del modelo.
Cuándo usarla
- Los eventos son independientes unos de otros.
- El ritmo medio es constante a lo largo del intervalo considerado.
- Dos eventos no ocurren instantáneamente a la vez (los conteos son puntuales).
- Interesa el número de ocurrencias, no el tiempo entre ellas (eso es la exponencial).
Poisson como límite de la binomial
Aparece como el caso límite de una binomial con n enorme y p diminuto, donde n por p se mantiene en lambda. «Muchos ensayos, cada uno muy raro» converge a Poisson. Por eso modela defectos raros en grandes lotes o llegadas entre muchísima gente con baja probabilidad individual.
Un ejemplo cotidiano
Si un servidor recibe de media 3 peticiones por minuto, lambda vale 3. La Poisson dice qué probabilidad hay de que en un minuto elegido lleguen 0, 5 o más de 10. No hace falta saber cuántos usuarios hay: solo el ritmo.
| Conteo k | Probabilidad (idea) | Lectura |
|---|---|---|
| 0 | e a menos lambda | ningún evento en el intervalo |
| 1 | lambda por e a menos lambda | justo uno |
| k | lambda a k partido k!, por e a menos lambda | exactamente k |
| media y varianza | ambas valen lambda | la firma de Poisson |
El número medio de llamadas por hora a un teléfono es 4 y se modela con Poisson. ¿Qué probabilidad hay de recibir exactamente 0 llamadas en una hora?
Sumar intervalos
Si un intervalo tiene ritmo lambda1 y otro lambda2, y son independientes, el total en el conjunto sigue una Poisson de parámetro lambda1 más lambda2. La media es aditiva: dos horas a 4 llamadas por hora equivale a una Poisson de 8.
Repartir eventos
Si repartes un flujo Poisson según categorías con cierta probabilidad, cada subflujo es todavía Poisson. Esta propiedad de «división» hace que el modelo sea manejable al segmentar llegadas por tipo.
Cuando se rompe
- Eventos agrupados o en ráfaga (una noticia viral): la Poisson subestima la varianza.
- Ritmo que varía con la hora del día: hay que ajustar lambda por tramos.
- Sucesos que se inhiben entre sí (un aparato reparado no vuelve a fallar al instante).
Sobredispersion
En datos reales el conteo suele ser más variable que una Poisson pura (varianza mayor que la media). Ahí se emplean generalizaciones como la binomial negativa. Reconocer la sobre-dispersión evita subestimar riesgos de cola.
Errores frecuentes
- Usar Poisson cuando los eventos no son independientes.
- Olvidar que el ritmo debe ser constante en el intervalo.
- Confundir el conteo por intervalo (Poisson) con el tiempo de espera (exponencial).
En una distribución de Poisson la media y la varianza son iguales al parámetro lambda.
Poisson en datos
Cola de servidores, siniestralidad, fallos de red, transacciones por segundo: los conteos de eventos raros y autónomos son Poisson casi por defecto. Es la distribución con la que se dimensionan recursos para picos de demanda.
Asigna cada pregunta a la distribución que la responde:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
OpenStaxDistribución de Poisson para conteos de eventos.
Una cafetería atiende de media 6 pedidos por minuto en hora punta. Modela con Poisson la probabilidad de superar 12 pedidos en un minuto y comenta qué implicaría para el tamaño de la cola.
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