Regla de la suma y complemento
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Suma de eventos disjuntos
Si dos eventos no pueden ocurrir a la vez (son disjuntos), la probabilidad de «A o B» es simplemente la suma de sus probabilidades. Sacar un 1 o un 2 en un dado: un sexto más un sexto = dos sextos. Aquí la suma es limpia porque no hay solape.
El problema del solape
Cuando A y B sí pueden ocurrir juntos, sumar sus probabilidades cuenta dos veces los resultados compartidos. Por eso la regla general resta una vez la intersección: probabilidad de A más probabilidad de B, menos probabilidad de ambos.
Regla general de la suma
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B). El término que se resta corrige exactamente el doble conteo. Si A y B son disjuntos, su intersección vale cero y la fórmula se reduce a la suma simple.
Tres eventos
Para tres eventos se incluyen las tres intersecciones de a dos y se vuelve a sumar la intersección triple: es el principio de inclusión-exclusión. Crece rápido, pero la lógica es la misma: contar cada resultado una sola vez.
Regla del complemento
La probabilidad de que NO ocurra A es uno menos la probabilidad de A. Parece menor, pero es una de las herramientas más potentes: a veces calcular «al menos un» es mucho más fácil por su contrario «ninguno».
El truco de «al menos uno»
Preguntarse por «al menos un seis en tres dados» directamente obliga a muchos casos. Su complemento, «ningún seis», es un solo cálculo: (cinco sextos) al cubo. Restar a uno da la respuesta en un paso. Pensar en el complemento es un atajo que ahorra páginas.
| Situación | Regla adecuada | Por qué |
|---|---|---|
| A y B disjuntos | P(A) + P(B) | no hay solape que restar |
| A y B se solapan | P(A) + P(B) - P(A y B) | corrige el doble conteo |
| «Al menos un» evento | 1 - P(ninguno) | el complemento es un solo caso |
En un baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey o una carta de oros, si un rey de oros está contado en ambos grupos?
Verificar que cabe en uno
Un control de sanidad: ninguna probabilidad puede superar uno. Si al sumar te sale más de uno, falta restar una intersección o los eventos no eran disjuntos. Ese «no puede dar más del cien por cien» detecta muchos errores de cálculo.
Cuándo conviene el complemento
- Cuando el enunciado dice «al menos uno», «ninguno» o «no todos».
- Cuando contar lo que sí cumple exige muchos casos y lo que no cumple es uno solo.
- Cuando la probabilidad conjunta de «todo falla» es fácil de elevar a una potencia.
Errores frecuentes
- Sumar probabilidades de eventos solapados como si fueran disjuntos.
- Olvidar restar la intersección al aplicar la regla general.
- Atacar «al menos uno» caso por caso en vez de usar el complemento.
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.
Complemento e intersección
Las leyes de De Morgan conectan el complemento con la intersección: el complemento de una unión es la intersección de complementos. Por eso «no (A o B)» se calcula como «ni A ni B», patrón que se usa para eventos independientes.
De la fórmula a la intuición
Más que memorizar P(A o B), conviene ver el diagrama de Venn: dos círculos que se solapan; sumar sus áreas cuenta dos veces la lente central; restarla una vez deja la unión correcta. La imagen fija la fórmula.
Elige la regla para cada pregunta:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
WikipediaPrincipio de inclusión-exclusión y regla de la suma.
Calcula la probabilidad de sacar al menos un 6 al lanzar tres dados usando el complemento. Muestra el razonamiento paso a paso y explica por qué este camino es más corto que contar caso a caso.
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