Cuadernillo de problemas resueltos: álgebra y funciones
Este cuadernillo es tu banco de ejercicios con solución detallada de Fundamentos de Matemáticas. En un libro impreso los problemas están al final del capítulo y las soluciones, cuando aparecen, ocupan una línea; aquí cada problema viene con su resolución paso a paso y con la justificación de cada movimiento. La regla de oro: intenta cada problema cinco minutos con papel y lápiz antes de revelar la solución. Si no puedes, estudia la solución, tápala y reescríbela tú solo.
Bloque 1 · Factorización y ecuaciones
Problema 1. Factoriza por completo el polinomio x^4 − 5x^2 + 4 y halla sus cuatro raíces.
Solución paso a paso
Paso 1 · Estructura
Reconoce la estructura: es un trinomio "cuadratico disfrazado", con x^2 en lugar de x. Apila un cambio de variable temporal: u = x^2.Paso 2 · Factor comun
Factoriza el trinomio en u: u^2 − 5u + 4. Busca dos números que sumen 5 y multipliquen 4: son 1 y 4. Resultado: (u − 1)(u − 4).Paso 3 · Volver a x
Deshaz el cambio: (x^2 − 1)(x^2 − 4). Ambos factores son diferencias de cuadrados.Paso 4 · Solucion
Aplica a^2 − b^2 = (a − b)(a + b): queda (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). Las raices son x = 1, −1, 2, −2.Paso 5 · Chequeo
Verificacion: el producto de las raices debe valer el termino independiente (4) con signo (−1)^4: (1)(−1)(2)(−2) = 4. Coincide.
Paso 1 de 5
Problema 2. Resuelve la ecuacion racional 2/(x − 3) + 1/(x + 1) = 1.
Solución paso a paso
Paso 1 · Restricciones
Dominio primero: x no puede valer 3 ni −1 porque anularian denominadores. Anótalo antes de empezar.Paso 2 · Limpiar fracciones
Multiplica toda la ecuacion por el minimo comun denominador (x − 3)(x + 1): quedan 2(x + 1) + (x − 3) = (x − 3)(x + 1).Paso 3 · Expandir
Expande: 2x + 2 + x − 3 = x^2 − 2x − 3, o sea 3x − 1 = x^2 − 2x − 3.Paso 4 · Forma canonica
Pasa todo a un lado: x^2 − 5x − 2 = 0. Es cuadratica con a = 1, b = −5, c = −2.Paso 5 · Resolver
Fórmula general: x = (5 ± √(25 + 8))/2 = (5 ± √33)/2. Numéricamente x ≈ 5.37 o x ≈ −0.37. Ninguna choca con las restricciones: ambas valen.
Paso 1 de 5
Problema 3. Resuelve la inecuacion |2x − 1| ≤ 5 y escribe la solución como intervalo.
Solución paso a paso
Paso 1 · Despejar el valor absoluto
El valor absoluto |A| ≤ c equivale a −c ≤ A ≤ c (para c positivo). Aquí: −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5.Paso 2 · Homogeneizar
Suma 1 a las tres partes: −4 ≤ 2x ≤ 6.Paso 3 · Dividir
Divide entre 2 (positivo, el sentido de la desigualdad no cambia): −2 ≤ x ≤ 3.Paso 4 · Resultado
Intervalo solucion: [−2, 3]. En notacion de conjuntos: {x : −2 ≤ x ≤ 3}.
Paso 1 de 4
Bloque 2 · Sistemas y funciones
Problema 4. Resuelve el sistema 3x + 2y = 16 ; x − y = 2.
Solución paso a paso
Paso 1 · Despejar
Despeja la variable mas simple: de la segunda ecuacion, x = y + 2.Paso 2 · Sustituir
Sustituye en la primera: 3(y + 2) + 2y = 16 → 3y + 6 + 2y = 16 → 5y = 10 → y = 2.Paso 3 · Recuperar x
Back-sustitucion: x = 2 + 2 = 4.Paso 4 · Comprobar
Verifica en ambas: 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16 ✓ y 4 − 2 = 2 ✓. Solucion: (4, 2).
Paso 1 de 4
Problema 5. Halla el dominio de f(x) = √(x − 3) / (x − 5).
Solución paso a paso
Paso 1 · Inventario de restricciones
Lista las dos barreras: la raiz cuadrada pide radicando no negativo; el denominador pide no anularse.Paso 2 · Radicando
Raiz: x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3.Paso 3 · Denominador
Denominador: x − 5 ≠ 0 → x ≠ 5.Paso 4 · Combinar
Interseccion: [3, +∞) menos el 5. Dominio: [3, 5) ∪ (5, +∞).
Paso 1 de 4
Problema 6. Sean f(x) = x^2 + 1 y g(x) = 2x − 3. Calcula f(g(2)) y resuelve f(g(x)) = g(f(x)).
Solución paso a paso
Paso 1 · Valor de la compuesta
Composicion a numero: g(2) = 1, luego f(1) = 2. Por tanto f(g(2)) = 2.Paso 2 · Desarrollar
Formula las dos compuestas: f(g(x)) = (2x − 3)^2 + 1 = 4x^2 − 12x + 10; g(f(x)) = 2(x^2 + 1) − 3 = 2x^2 − 1.Paso 3 · Plantear ecuacion
Iguala: 4x^2 − 12x + 10 = 2x^2 − 1 → 2x^2 − 12x + 11 = 0.Paso 4 · Resolver
Fórmula: x = (12 ± √(144 − 88))/4 = (12 ± √56)/4 = 3 ± √14/2. Aproximacion: x ≈ 4.87 o x ≈ 1.13. Las composiciones NO conmutan; solo coinciden en dos puntos.
Paso 1 de 4
Bloque 3 · Cuadraticas, logaritmos y trigonometria
Problema 7. Dados f(x) = 2x^2 − 12x + 16: halla vertice, raices y minimo. ¿Que dimensiones de rectangulo de perimetro 40 m maximizan el area?
Solución paso a paso
Paso 1 · Forma canonica
Completa el cuadrado: f(x) = 2(x^2 − 6x) + 16 = 2((x − 3)^2 − 9) + 16 = 2(x − 3)^2 − 2.Paso 2 · Vertice y minimo
Vertice: (3, −2). Como el coeficiente 2 es positivo, la parabola abre hacia arriba: el vertice es el minimo, f(3) = −2.Paso 3 · Raices
Raices: 2(x − 3)^2 = 2 → (x − 3)^2 = 1 → x = 4 o x = 2.Paso 4 · Optimizacion
Aplicacion: lados x y 20 − x (perimetro 40 → semiperimetro 20). Area A(x) = x(20 − x) = −x^2 + 20x: parábola hacia abajo con vertice en x = 10. Maximo: 10 × 10 = 100 m^2.
Paso 1 de 4
Problema 8. Resuelve log2(x) + log2(x − 2) = 3. Y despues: una muestra decaen a N(t) = 100·e^(−0.05t); ¿cuando vale 50?
Solución paso a paso
Paso 1 · Propiedad
Suma de logaritmos = logaritmo del producto: log2(x(x − 2)) = 3.Paso 2 · Exponencial
Traduce a exponencial: x(x − 2) = 2^3 = 8 → x^2 − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0.Paso 3 · Validar dominio
Candidatos x = 4 y x = −2, pero log2(x) solo existe para x positivo: x = −2 se descarta. Solucion: x = 4.Paso 4 · Modelo exponencial
Decaimiento: 100·e^(−0.05t) = 50 → e^(−0.05t) = 0.5 → −0.05t = ln(0.5) → t = ln(2)/0.05 ≈ 13.86 periodos. El logaritmo natural convierte rates en tiempos: es el patron de todas las vidas medias.
Paso 1 de 4
Problema 9. Resuelve 2·sin(x) = 1 en el intervalo [0, 2π).
Solución paso a paso
Paso 1 · Aislar
Aisla: sin(x) = 1/2.Paso 2 · Simetria
En el circulo unitario el seno (coordenada y) vale 1/2 en los angulos π/6 (30°) y 5π/6 (150°): el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante.Paso 3 · Resultado
Soluciones: x = π/6 y x = 5π/6. Si el dominio fuera todo R, añades +2πk.
Paso 1 de 3
Mapa de estrategias
Que tecnica uso
- Ecuaciones y funciones
- Polinomios
- Cuadratico disfrazado: u = x^2
- Diferencia de cuadrados
- Fórmula general con discriminante
- Fracciones
- Restricciones primero
- Multiplicar por MCD
- Descantar raices ajenas
- Desigualdades
- |A| ≤ c → −c ≤ A ≤ c
- Girar signo al multiplicar por negativo
- Funciones
- Dominio: raices y denominadores
- Compuestas: de dentro a fuera
- Vertice: x = −b/2a
- Polinomios
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Resuelve en papel sin mirar arriba. Al terminar, responde aqui: cada pregunta vale el mismo punto; con 5 de 6 has aprobado el bloque.
Cual es el valor de log3(81)?
¿Cual es la factorizacion de x^2 − 7x + 12?
Halla x en el sistema x + y = 10 ; x − y = 4.
La funcion √x esta definida para todo numero real.
¿En que valor de x alcanza su minimo f(x) = 2x^2 − 12x + 16?
La solucion de |2x − 1| ≤ 5 es el intervalo [, 3].
Para profundizar
Khan Academy: Algebra IEjercicios adicionales con retroalimentacion inmediata.
LibreTexts: Algebra (abierto y gratuito)Capitulos completos con problemas y soluciones, por si quieres mas volumen.
¿Que tipo de problema te costo mas: los que requieren manipular expresiones o los que requieren interpretar una restriccion (dominio, signo)? En ciencia de datos, la segunda familia es la que mas modelos rompe en silencio.
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