Factorización e identidades notables
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Una expresión como x² − 9 parece «hecha», pero escrita como (x − 3)(x + 3) revela sus raíces de inmediato: x = 3 y x = −3. Factorizar es encontrar esa forma en producto. Hay tres herramientas que cubren la mayoría de los casos que verás.
1) Factor común
Si todos los términos comparten un factor, sacúdelo afuera usando la distributiva al revés: ab + ac = a(b + c). Ejemplo: 6x² + 9x = 3x(2x + 3), porque 3x está en los dos términos.
2) Diferencia de cuadrados
Así, x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3), y 4a² − 25b² = (2a − 5b)(2a + 5b). El patrón se reconoce porque solo hay dos términos, ambos cuadrados, separados por un menos.
3) Trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo: x² + 6x + 9 = x² + 2·3·x + 3² = (x + 3)². Fíjate que el 6x es dos veces el producto de x por 3: esa es la firma del cuadrado perfecto.
| Patrón | Forma factorizada | Clave para reconocerlo |
|---|---|---|
| a² − b² | (a − b)(a + b) | dos términos, ambos cuadrados, resta |
| a² + 2ab + b² | (a + b)² | tres términos, el central es doble producto |
| a² − 2ab + b² | (a − b)² | igual pero el central es negativo |
| ax + ay | a(x + y) | factor común en todos los términos |
¿Cuál es la factorización de x² − 5x + 6?
x² + 9 puede factorizarse en los reales como diferencia de cuadrados.
Une cada expresión con su forma factorizada correcta.
Para factorizar a² − b² se escribe (a b)(a b). En el trinomio a² + 2ab + b² el resultado es (a b)².
Cómo equivocarse con elegancia (y no repetir)
- Olvidar el factor común primero: 2x² − 8 parece «diferencia de cuadrados» pero antes sale 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2).
- Confundir x² + 9 (no factorizable en ℝ) con x² − 9 (sí lo es). El signo central decide.
- Chequear mal: al factorizar, siempre multiplicá de vuelta; si no recuperás la expresión original, hay error.
Ejemplo resuelto
- Factoriza completamente 2x³ − 8x.
- Extrae factor común 2x: 2x(x² − 4).
- Reconoce diferencia de cuadrados dentro: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Resultado: 2x(x − 2)(x + 2).
- Verifica multiplicando: 2x(x² − 4) = 2x³ − 8x. Correcto.
En ciencia de datos la factorización aparece sin que la notes: al simplificar una función de coste, al cancelar términos de una probabilidad o al buscar ceros de un polinomio característico. Reconocer patrones ahorra cuentas y evita errores numéricos.
Los patrones, de memoria
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Khan Academy · FactorizaciónSerie de ejercicios graduados de factor común y patrones notables, con retroalimentación.
Toma una expresión cuadrática como x² + bx + c con distintos valores de b y c. Escribe una regla que te diga CUÁNDO será un trinomio cuadrado perfecto (pista: mira la relación entre b y c). Justifícala factorizando un ejemplo propio.
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