Espacio vectorial, base y dimensión
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Espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de «vectores» (pueden ser flechas, polinomios, funciones, señales) donde puedes sumar dos elementos y multiplicar por un escalar sin salirte del conjunto. Esa clausura y unas pocas reglas (asociativa, conmutativa, neutro, inverso) definen la estructura.
Subespacio
Un subespacio es un subconjunto que es a su vez espacio vectorial: contiene el cero, y es cerrado frente a suma y escalado. Una recta por el origen dentro del plano es un subespacio; una recta que no pasa por el origen, no. Es la prueba rápida: sin el cero, no hay subespacio.
Span o generado
El span de un grupo de vectores es el conjunto de todas sus combinaciones lineales: el subespacio más pequeño que los contiene. Si unos vectores generan todo el espacio, cualquier punto se fabrica combinándolos. Generar es «abarcar».
Base
Una base es un conjunto de vectores que, a la vez, genera todo el espacio y es linealmente independiente: cada vector de la base aporta una dirección insustituible, y ninguno sobra. Es el esqueleto mínimo del espacio. Quitar uno deja huecos; añadir uno crea redundancia.
Dimensión
La dimensión es el número de vectores de cualquier base. Es un número bien definido: todas las bases de un espacio tienen el mismo tamaño. El plano tiene dimensión 2, el espacio 3, y un espacio de funciones puede tener dimensión infinita.
Coordenadas
Una vez eliges una base, cualquier vector queda descrito por sus coordenadas: los pesos con que combinas los vectores de la base. Las mismas «cantidades» cambian según la base elegida: el vector es fijo, sus números dependen del marco de referencia.
Cambio de base
A veces una base rara hace que las cuentas sean fáciles: girar los ejes para alinearlos con la información. Una matriz de cambio de base traduce coordenadas de un marco a otro. Todo el truco del álgebra aplicada es elegir la base donde el problema se simplifica.
| Concepto | Prueba o idea | Trampa habitual |
|---|---|---|
| Subespacio | contiene el cero y es cerrado | recta que no pasa por el origen |
| Base | genera y es independiente | poner un vector redundante |
| Dimensión | número de vectores de la base | contar vectores que no son base |
| Coordenadas | pesos en una base fija | olvidar de qué base hablas |
¿Cuál es la condición para que un conjunto de vectores sea una base de un espacio?
El cero rompe todo
Ninguna base puede contener al vector cero, porque sería redundante (ya está en el span de cualquier otro). Y ningún subespacio puede dejarlo fuera. El cero es el pegamento: siempre dentro del espacio, nunca dentro de la base.
Bases en R a la n
En R a la n existe la base canónica: los vectores e uno, e dos... con un solo 1. Sus coordenadas son las de toda la vida. Pero otras bases sirven igual: la dimensión no cambia, solo la forma de describir los vectores.
Bases ortonormales
Una base donde los vectores son unitarios y perpendiculares entre sí se llama ortonormal. Es la más cómoda: las coordenadas se obtienen con simples productos punto, sin resolver sistemas. La siguiente lección introduce la ortogonalidad que lo hace posible.
Dimensión infinita
Los polinomios de grado cualquier número forman un espacio de dimensión infinita: necesitas infinitos términos para generarlo todo. El álgebra lineal no muere ahí: las mismas ideas de base y dimensión se extendieron a espacios funcionales, la base del análisis.
Errores frecuentes
- Aceptar un conjunto generador como base sin comprobar independencia.
- Suponer que el número de vectores de un conjunto arbitrario es la dimensión.
- Olvidar que un subespacio debe contener el cero (una recta desplazada no lo es).
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores.
Por qué cambiar de base
Muchos problemas son difíciles en la base natural y fáciles en otra: las ecuaciones se desacoplan, las matrices se vuelven diagonales. PCA, la transformada de Fourier y los autovalores (lecciones futuras) son, en el fondo, búsquedas de la base donde los datos hablan claro.
Ordena la jerarquía de conceptos:
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Piensa en el plano y en dos formas de dar coordenadas a un punto: con ejes rectos y con ejes inclinados 45 grados. Explica por qué ambas son bases válidas y cuál elegirías para describir puntos sobre una recta diagonal.
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3Blue1Brown: Linear AlgebraSerie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.
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