Cuadernillo de problemas resueltos: como resumir una muestra a ocho numeros
Antes de tocar un modelo, un cientifico de datos resume. Este cuadernillo entrena la aritmetica completa de la estadistica descriptiva: centralizacion, dispersión, cuartiles, atipicos, estandarización y relación entre variables. Todos los calculos se hacen a mano, linea a linea, con series pequenas que puedes verificar; despues sabras que hace exactamente cada funcion de pandas cuando escribes .describe().
Bloque 1 · Centralizacion y orden
Problema 1. Para los datos 2, 3, 3, 5, 7, 10 calcula media, mediana y moda. ¿Que forma tiene la distribucion?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Media
Media: suma 2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 10 = 30; entre n = 6 resulta x̄ = 30/6 = 5.Paso 2 · Mediana
Mediana: n par, promedio de las dos centrales (posiciones 3 y 4): (3 + 5)/2 = 4.Paso 3 · Moda
Moda: el valor que mas se repite: 3 (dos veces).Paso 4 · Forma
Lectura: media (5) mayor que mediana (4) mayor que moda (3): cola larga hacia la derecha. Es la firma de la asimetria positiva: salarios, tiempos de carga, tamano de ciudades.
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Problema 2. Para 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20 (n = 11) halla Q1, Q2, Q3, el IQR y detecta atipicos con la regla 1.5·IQR.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Mediana
Q2 (mediana): posicion central de 11 valores: el 6.º = 6.Paso 2 · Cuartiles
Q1: mediana de la mitad inferior (1,2,3,4,5): 3. Q3: mediana de la superior (7,8,9,10,20): 9.Paso 3 · Rango intercuartilico
IQR = Q3 − Q1 = 9 − 3 = 6.Paso 4 · Vallas
Vallas: Q1 − 1.5·6 = −6 y Q3 + 1.5·6 = 18. El 20 supera 18: es ATIPICO. El bigote del boxplot se queda en 10 y 20 sale dibujado como punto suelto.
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Bloque 2 · Dispersión y estandarización
Problema 3. Calcula la varianza y desviación tipica muestral y poblacional de 4, 8, 10, 12, 16.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Media
Media: (4 + 8 + 10 + 12 + 16)/5 = 50/5 = 10.Paso 2 · Cuadrados
Desviaciones al cuadrado: (4−10)^2 = 36; (8−10)^2 = 4; (10−10)^2 = 0; (12−10)^2 = 4; (16−10)^2 = 36. Suma de cuadrados = 80.Paso 3 · Muestral
Varianza muestral: s^2 = 80/(n−1) = 80/4 = 20; s = √20 ≈ 4.47. Se divide entre n−1 para corregir el sesgo de estimar la media con los mismos datos.Paso 4 · Poblacional
Varianza poblacional: σ^2 = 80/5 = 16; σ = 4. Si los cinco datos son TODA la poblacion, este es el numero. numpy usa n por defecto; pandas, n−1: conoc el default de tu libreria.
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Problema 4. Ana saco 85 en un examen con media 80 y desviación 10; Ben, 70 en otro con media 60 y desviación 20. ¿Quien rindio mejor en terminos relativos? ¿Cuantas desviaciones esta 16 del conjunto del problema 3?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Ana
Estandariza: z = (x − media)/desviación. Ana: (85 − 80)/10 = 0.5.Paso 2 · Ben
Ben: (70 − 60)/20 = 0.5. Empate: ambos quedaron a media desviación por encima de su referencia.Paso 3 · Z suelta
El 16 del problema 3: z = (16 − 10)/4.47 = 1.34 (con s muestral) o 1.5 con σ poblacional: reporta siempre con cual trabajas.Paso 4 · Conexion ML
Para que sirve: los modelos lineales con caracteristicas en escalas distintas necesitan z-score para que el gradiente entrene parejo; el preprocessing StandardScaler hace exactamente esta cuenta por columna.
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Problema 5. Distribucion de frecuencias: valor 0 (2 veces), 1 (5 veces), 2 (3 veces), 3 (1 vez). Calcula media y desviación poblacional.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Media ponderada
n = 2 + 5 + 3 + 1 = 10. Media = Σ(x·f)/n = (0·2 + 1·5 + 2·3 + 3·1)/10 = 14/10 = 1.4.Paso 2 · Segundo momento
Σ(x^2·f) = 0 + 1·5 + 4·3 + 9·1 = 26. Formula breve: σ^2 = E[x^2] − (E[x])^2 = 2.6 − 1.96 = 0.64.Paso 3 · Resultado
σ = √0.64 = 0.8; muestral s^2 = 0.64·10/9 ≈ 0.711. La formula E[x^2] − media^2 es la que usan las librerias internamente.
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Bloque 3 · Relaciones entre dos variables
Problema 6. Para los puntos (1, 2), (2, 5), (3, 4), (4, 7) calcula covarianza muestral y correlación de Pearson.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Medias
Medias: x̄ = (1+2+3+4)/4 = 2.5; ȳ = (2+5+4+7)/4 = 4.5.Paso 2 · Productos
Productos de desviaciones: (−1.5)(−2.5) = 3.75; (−0.5)(0.5) = −0.25; (0.5)(−0.5) = −0.25; (1.5)(2.5) = 3.75. Suma = 7.Paso 3 · Covarianza
Covarianza: 7/(4−1) = 2.333. Positiva: cuando x sube, y tiende a subir. Pero 2.333 no es comparable entre escalas.Paso 4 · Normalizar
sx = √(5/3) = 1.291; sy = √(13/3) = 2.082. Correlación r = 7/√(5·13) = 7/√65 ≈ 0.868: relación lineal fuerte y positiva.Paso 5 · Cautelas
Ojo: r mide SOLO linealidad; un r cercano a 0 con patron U claro pasa desapercibido. Y correlacion no es causalidad: la tercera variable (confusora) existe.
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Problema 7. Con los datos del problema 2 escribe el resumen de cinco numeros y describe como seria el boxplot.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Lista
Cinco numeros: minimo 1, Q1 3, mediana 6, Q3 9, maximo 20.Paso 2 · Bigotes
Bigotes hasta el ultimo dato dentro de las vallas: inferior 1, superior 10 (el 20 queda fuera).Paso 3 · Leer el grafico
Dibujo: caja de 3 a 9 con corte en 6, bigotes 1 y 10, y punto aislado en 20. Visualmente la asimetria positiva del problema 1: la caja esta apretada a la izquierda del bigote largo.
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Problema 8. Un grupo de 20 estudiantes promedia 85 y otro de 5 promedia 92. ¿Cual es la media combinada? ¿Por que NO es (85 + 92)/2?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Ponderar
Sumas: 20·85 = 1700; 5·92 = 460. Total 2160 entre 25.Paso 2 · Resultado
Media combinada = 2160/25 = 86.4, no 88.5: el grupo grande pesa cuatro veces mas. Ignorar los pesos es el error clasico de reportar "media de medias".Paso 3 · Practica
Extension: cuando combines metricas por segmento (CTR por campana, error por cliente), pondera siempre por volumen o tu dashboard mentira.
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Mapa de decisiones
Que resumen uso
- Describir datos
- Centro
- Media: simetricos, sin atipicos
- Mediana: con colas o atipicos
- Dispersión
- s con n−1: muestra
- IQR: robusto a extremos
- Posicion relativa
- Z-score: comparar escalas
- Cuantiles: lectura de percentiles
- Dos variables
- Covarianza: signo y escala
- r de Pearson: fuerza lineal
- Centro
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Serie fija para todo el examen: 4, 8, 10, 12, 16 (usa el trabajo del problema 3).
Calcula la varianza MUESTRAL de 4, 8, 10, 12, 16.
Cual es la puntuación Z del valor 16 usando media 10 y desviación muestral 4.47?
Si sumas 5 a TODOS los datos de una muestra, ¿que pasa a la desviación tipica?
Una correlación de 0.9 entre helados vendidos y ahogamientos demuestra que los helados causan ahogamientos.
En un boxplot, los valores mas alla de Q3 + 1.5· se marcan como atipicos.
Empareja cada resumen con su propiedad.
Para profundizar
Khan Academy: EstadisticaEjercicios con solucion inmediata sobre medias, varianzas y cuartiles.
Penn State STAT 200 (abierto)Introduccion al analisis de datos con software, gratuita.
El problema 6: inventa dos series con correlacion cercana a 0 pero con relacion obvia (una parabola funciona). ¿Que grafico te salva de esa ceguera? El scatter: miralo siempre antes de reportar r.
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