Relaciones y sus propiedades
Mapa conceptual
- Matematicas Discretas
- Logica
- Proposicional
- Cuantificadores
- Demostracion
- Conjuntos
- Operaciones
- Cardinalidad
- Relaciones
- Conteo
- Permutaciones
- Combinaciones
- Recurrencias
- Grafos
- Nodos aristas
- BFS DFS
- Arboles
- Modular
- Congruencias
- Criptografia
- Euclides
- Logica
Cuatro propiedades que hay que saber reconocer sin dudar:
| Propiedad | Se cumple si… | Ejemplo típico |
|---|---|---|
| Reflexiva | todo a se relaciona consigo mismo (a R a) | «igual a», «subconjunto de» |
| Simétrica | si a R b entonces b R a | «ser hermano de», «amigo en una red» |
| Antisimétrica | si a R b y b R a, entonces a = b | «menor o igual», «jerarquía» |
| Transitiva | si a R b y b R c, entonces a R c | «ancestral», «divisibilidad» |
Las dos familias importantes
- Relación de equivalencia: reflexiva + simétrica + transitiva. Parte el conjunto en clases de equivalencia disjuntas (agrupa sin solapar). Ejemplo: «tener la misma paridad», «ser congruente módulo n». Es la operación que agrupa registros en categorías.
- Relación de orden (parcial): reflexiva + antisimétrica + transitiva. Ordena sin exigir que todo sea comparable. Ejemplo: «≤» en los números, «subconjunto de», «es predecesor de» en un grafo de dependencias.
Clases de equivalencia
Dada una equivalencia, la clase de un elemento a es el conjunto de todos los que se le relacionan. Dos clases o son idénticas o no comparten elementos, y su unión reconstruye todo el conjunto: eso es una partición. Agrupar clientes por país, o números por su resto módulo 5, son clases de equivalencia.
f(x) = x · f(x) = abs(x)
La relación «ser congruente módulo 5» (a ≡ b si 5 divide a a − b) es…
«≥» sobre los enteros es una relación de equivalencia.
Clasifica cada relación según la familia que forma.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Errores al clasificar
- Olvidar la reflexividad: «menor estricto» ( ) es transitiva pero NO reflexiva, así que no es orden parcial (es orden estricto).
- Confundir antisimetría con simetría: antisimétrica no prohíbe a R b, exige que si también b R a entonces eran el mismo elemento.
- Suponer que todo orden es total: en ⊆ puede haber conjuntos incomparables (ni A⊆B ni B⊆A).
Ejemplo resuelto
- Decide si «R» definida por a R b si a y b tienen el mismo signo (sobre ℝ0).
- Reflexiva: todo número tiene su mismo signo. Sí.
- Simétrica: si a y b coinciden en signo, b y a también. Sí.
- Transitiva: si a y b y c coinciden dos a dos, todos comparten signo. Sí.
- Es de equivalencia: particiona en dos clases, «positivos» y «negativos».
Las relaciones de equivalencia son el «group by» de los datos: toda agrupación en categorías disjuntas (por país, por rango, por cluster) es una partición inducida por una equivalencia. Y los órdenes parciales gobiernan la programación de tareas y los grafos de dependencias: saber qué va antes que qué, sin exigir un único orden lineal.
Propiedades y familias
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Relaciones (repaso formal)Propiedades, relaciones de equivalencia y de orden con particiones.
Sobre el conjunto de los estudiantes de un curso, define una relación de equivalencia útil (por ejemplo, «comparten carrera») y describe sus clases. Luego define una relación de orden parcial y explica por qué NO es una equivalencia.
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
MIT OCW 6.042JMatematicas para Ciencias de la Computacion (MIT OpenCourseWare).
Comentarios
Inicia sesión para comentar.
Todavía no hay comentarios. Sé la primera persona en opinar.