Teorema fundamental del cálculo
Mapa conceptual
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- Integral definida
- Area bajo curva
- Teorema FTC
- Valor medio
- Impropia
- Limites infinitos
- Discontinuidad
- Convergencia
- Multivariable
- Jacobiano
- Hessiano
- Taylor
- Antiderivadas
La idea central
El teorema fundamental dice que para calcular la integral definida de una función basta encontrar una primitiva y restar sus valores en los extremos. Es decir: el área acumulada bajo la curva se obtiene evaluando cualquier antiderivada en los límites, sin sumar infinitas franjitas.
Primera parte: acumular y derivar
Si defines una función como el área bajo f desde un punto fijo hasta x, entonces la derivada de esa función-área es exactamente f. Al incrementar x, el área crece a un ritmo igual a la altura de f en ese punto. Derivar la acumulación devuelve el integrando: son inversas.
Segunda parte: evaluar por primitivas
Para calcular la integral definida de a a b, toma cualquier primitiva F de f y calcula F de b menos F de a. Ese corchete evaluado en los extremos es la receta práctica. Reduce un problema de suma infinita a una resta de dos números.
Notación del corchete
Se escribe F de x entre corchetes de a a b, igual a F de b menos F de a. La integral definida de f equals esa resta cuando F igual f. Es el «Barrow»: la integral definida como diferencia de una primitiva en los bordes.
Un ejemplo completo
Integral de x de 0 a 2. Una primitiva de x es x al cuadrado entre 2. Evaluada de 0 a 2: (4 entre 2) menos (0 entre 2) igual 2. El área bajo la recta y igual x entre 0 y 2 es un triángulo de área 2: cuadra perfecto.
Integral con signo
La integral definida no es siempre área geométrica: cuenta área con signo. Donde la función va por debajo del eje, la aportación es negativa. Así, la integral mide «saldo» de áreas, lo cual es esencial en física (un desplazamiento puede ser negativo).
| Concepto | Qué es | Para qué sirve |
|---|---|---|
| Primitiva F | función cuya derivada es f | punto de partida del método |
| Corchete de a a b | F de b menos F de a | valor de la integral definida |
| Integral definida | área con signo entre a y b | número concreto |
| Integral indefinida | familia F más C | antes de fijar límites |
Para calcular la integral definida de f de a a b usando el teorema fundamental, ¿qué necesitas?
Por qué es «fundamental»
Une lo geométrico (área) con lo analítico (derivada). Sin él, integrar sería una suma infinita cada vez. Con él, el cálculo de áreas se vuelve algebraico: hallar F y restar. Es la razón de que el cálculo funcione como lo usas.
Función de acumulacion
El teorema también define funciones que «acumulan» una cantidad: la energía consumida hasta el tiempo t, el agua acumulada. Su derivada es el ritmo de llegada f. Es el modelo de toda variable que se va sumando con el tiempo.
Cuando no hay primitiva elemental
Algunas funciones (como e a menos x al cuadrado) tienen integral pero no primitiva expresable con fórmulas elementales. Ahí el teorema sigue siendo cierto, pero el valor se calcula numéricamente. Importante: existir y no saber escribirse son cosas distintas.
Errores frecuentes
- Olvidar restar el límite inferior: la integral es F(b) menos F(a), no solo F(b).
- Usar la primitiva sin comprobar que deriva a f.
- Tratar la integral definida como si fuera una función (es un número).
Según el teorema fundamental, derivar una integral con límite variable devuelve el integrando.
En datos y probabilidad
Una densidad de probabilidad se integra para obtener probabilidades: el área bajo la curva entre dos valores. El teorema fundamental es lo que permite pasar de la densidad (ritmo) a la distribución acumulada (total), algo que verás en estadística.
Ordena los pasos para evaluar un área por el teorema fundamental:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Explica con tus palabras por qué el teorema fundamental hace que calcular áreas sea «restar» en vez de «sumar infinitas cosas». Da un ejemplo con una recta sencilla.
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3Blue1Brown: CalculusSerie visual de calculo integral y diferencial.
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