Cuadernillo de problemas resueltos: limites y derivadas
El calculo diferencial es el idioma en el que estan escritas las reglas de optimizacion de machine learning. Este cuadernillo entrena la mechanicsa: nueve problemas clasicos resueltos con todos los pasos visibles, desde el limite de una fraccion indeterminada hasta el problema de la caja que maximiza volumen, pasando por la regla de la cadena y los problemas de razones relacionadas. Trabaja con papel, lapiz y cronometro: la fluidez se mide en tiempo, no en memoria.
Bloque 1 · Limites y continuidad
Problema 1. Calcula el limite de (x^2 − 4)/(x − 2) cuando x tiende a 2.
Solución paso a paso
Paso 1 · Detectar indeterminacion
Sustitucion directa da 0/0: indeterminacion. Eso significa que hay un factor comun que cancelar.Paso 2 · Factorizar
Factoriza el numerador: x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2).Paso 3 · Simplificar
Cancelel factor (x − 2): la funcion se reduce a x + 2 para todo x ≠ 2, que es exactamente lo que un limite necesita.Paso 4 · Sustituir
Limite: 2 + 2 = 4. Ojo: la funcion NO esta definida en 2; el limite no depende del valor en el punto, sino del entorno.
Paso 1 de 4
Problema 2. Calcula el limite de sin(3x)/x cuando x tiende a 0.
Solución paso a paso
Paso 1 · Herramienta base
Recuerda el limite fundamental: lim sen(t)/t = 1 cuando t tiende a 0.Paso 2 · Cambio de variable
Acomoda el argumento: sin(3x)/x = 3·sin(3x)/(3x). Con t = 3x, cuando x → 0 tambien t → 0.Paso 3 · Resolver
Resultado: 3·1 = 3. La tecnica de "meter el coeficiente dentro y compensar fuera" resuelve variantes como sen(5x)/(2x) → 5/2.
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Problema 3. Calcula el limite de (3x^2 + 1)/(2x^2 − x) cuando x tiende a infinito.
Solución paso a paso
Paso 1 · Normalizar
En limites al infinito manda el termino de mayor grado. Divide numerador y denominador entre x^2.Paso 2 · Simplificar
Queda (3 + 1/x^2)/(2 − 1/x). Cuando x → ∞ los terminos 1/x y 1/x^2 se anulan.Paso 3 · Regla
Resultado: 3/2. Regla general: igual grado → cociente de coeficientes; grado mayor en denominador → 0; en numerador → ±∞.
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Problema 4. Sea f(x) = x^2 + c si x ≤ 1, y f(x) = 2x − 1 si x mayor que 1. ¿Que valor de c hace continua f en x = 1?
Solución paso a paso
Paso 1 · Criterio
Continuidad en 1 exige: limite por la izquierda = limite por la derecha = valor en el punto.Paso 2 · Calcular ramas
Izquierda: lim x→1− de x^2 + c = 1 + c. Derecha: lim x→1+ de 2x − 1 = 1. Valor en el punto: f(1) = 1 + c (usa la primera rama).Paso 3 · Despejar c
Iguala: 1 + c = 1 → c = 0. Comprueba: con c = 0 las dos ramas dan 1 en x = 1.
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Bloque 2 · Reglas de derivacion
Problema 5. Deriva f(x) = x^2 − 3x usando la definicion de derivada como limite.
Solución paso a paso
Paso 1 · Definicion
Escribe el cociente incremental: [f(x+h) − f(x)]/h = [(x+h)^2 − 3(x+h) − x^2 + 3x]/h.Paso 2 · Expandir y cancelar
Expande: (x^2 + 2xh + h^2 − 3x − 3h − x^2 + 3x)/h = (2xh + h^2 − 3h)/h.Paso 3 · Factorizar
Factoriza h: h(2x + h − 3)/h = 2x + h − 3.Paso 4 · Limite
Limite h → 0: f'(x) = 2x − 3. Verificacion geometrica: en x = 0 la pendiente es −3, coherente con la tangente y = −3x que pasa por el origen.
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Problema 6. Deriva y = (5x^2 + 1)^3.
Solución paso a paso
Paso 1 · Capas
Identifica la composicion: externa u^3 con u = 5x^2 + 1. La regla de la cadena dice dy/dx = 3u^2 · u'.Paso 2 · Interna
Deriva la interna: u' = 10x.Paso 3 · Ensamblar
Multiplica: y' = 3(5x^2 + 1)^2 · 10x = 30x(5x^2 + 1)^2. La regla de la cadena es la retropropagacion en miniatura: derivas capa a capa y multiplicas.
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Problema 7. Sea f(x) = x^2·eˣ. Halla f'(x) y la ecuacion de la recta tangente en x = 1.
Solución paso a paso
Paso 1 · Regla del producto
Producto u·v con u = x^2, v = eˣ: f' = 2x·eˣ + x^2·eˣ = eˣ(2x + x^2).Paso 2 · Coordenada
Punto de tangencia: f(1) = 1·e = e.Paso 3 · Pendiente
Pendiente: f'(1) = e·(2 + 1) = 3e.Paso 4 · Recta
Recta: y = e + 3e(x − 1). La tangente es la aproximacion lineal de f cerca de 1: el corazon de la linealización que usa el gradiente descendente.
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Bloque 3 · Aplicaciones
Problema 8 (razones relacionadas). Una escalera de 5 m apoyada en un muro desliza: su pie se aleja a 1 m/s cuando esta a 3 m del muro. ¿A que velocidad resbala la parte alta?
Solución paso a paso
Paso 1 · Plantear
Modela: x^2 + y^2 = 25 con x el pie, y la altura. Deriva en el tiempo: 2x·x' + 2y·y' = 0.Paso 2 · Geometria
En el instante: x = 3 → y = √(25 − 9) = 4.Paso 3 · Resolver
Sustituye x' = 1: 2·3·1 + 2·4·y' = 0 → y' = −6/8 = −0.75 m/s.Paso 4 · Interpretar
El signo menos indica que la altura BAJA: 0.75 m/s hacia abajo. Las razones relacionadas atan velocidades mediante derivadas implicitas.
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Problema 9 (optimizacion). De una lamina cuadrada de 12 × 12 cm se cortan cuadrados iguales de lado x en las esquinas para doblar una caja abierta. ¿Que x maximiza el volumen?
Solución paso a paso
Paso 1 · Funcion objetivo
Volumen: V(x) = x·(12 − 2x)^2 con 0 ≤ x ≤ 6 (fuera de ahi no hay caja).Paso 2 · Derivada
Deriva con producto y cadena: V' = (12 − 2x)^2 + x·2(12 − 2x)·(−2) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x).Paso 3 · Criticos
Puntos criticos: x = 6 (borde, V = 0) o x = 2.Paso 4 · Decidir
Criterio: para x menor que 2, V' es positiva; para x entre 2 y 6, negativa. Cambio de + a −: maximo. V(2) = 2·8^2 = 128 cm^3.
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Mapa de estrategias
Caja de herramientas de limites y derivadas
- Calculo diferencial
- Limites
- 0/0 → factorizar o racionalizar
- sen(t)/t → 1
- infinito → manda el grado mayor
- Derivadas
- Suma y producto
- Cociente
- Cadena: capas de fuera a dentro
- Aplicaciones
- Tangente: f(a) + f'(a)(x−a)
- Razones relacionadas: derivar implicito en t
- Optimizar: criticos + signo de f'
- Limites
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Calcula el limite de (x^2 − 9)/(x − 3) cuando x tiende a 3.
¿Cual es la derivada de x^3 evaluada en x = 2?
Calcula el limite de sen(5x)/x cuando x tiende a 0.
¿Cual es la derivada de (3x + 1)^4?
La funcion valor absoluto |x| es derivable en x = 0.
Con el problema de la caja de 12 × 12, ¿cual es el volumen maximo en cm^3?
Para profundizar
Khan Academy: Calculo diferencialBanco de ejercicios con solucion por pasos.
Pauls Online Notes: Calculus INotas completas con ejemplos resueltos, nivel universitario.
El problema de la caja alcanza su maximo cuando V' = 0. En entrenamiento de modelos rara vez el optimo cae "redondo": ¿por que crees que los algoritmos suben y bajan en zigzag cerca del minimo?
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