Laboratorio · Preparatoria
Laboratorio de cálculo: límite y derivada
Toca por primera vez las dos ideas que fundan el cálculo: acercarse sin tocar (límite) y medir qué tan rápido cambia algo (derivada).
Matemáticas · grado 2, 3 · avanzado · v1.0.0 · Lumbre
Acercarse sin llegar
Simplifica (x² − 1)/(x − 1) en el resolvedor y descubre por qué el límite cuando x→1 vale 2 aunque la función no esté definida en 1.
El límite pregunta hacia dónde VAS, no dónde estás
En x = 1 la expresión (x²−1)/(x−1) da 0/0, un «agujero». Pero para valores CERCA de 1 se puede factorizar: (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1. Cuando x se acerca a 1, x+1 se acerca a 2. Decimos que el límite es 2, aunque la función no exista exactamente en 1.
Al simplificar (x²−1)/(x−1) para x distinto de 1 obtienes x+1. ¿A qué valor se acerca cuando x→1?
Pistas
- Factoriza el numerador como diferencia de cuadrados.
- Cancela el factor común (x−1).
Ver el hueco en la gráfica
Grafica (x^2-1)/(x-1): la curva es la recta y = x+1 con un agujero en x = 1.
Una recta con un punto faltante
La gráfica parece una línea recta perfecta, pero en x = 1 hay un hoyito: la función no tiene valor ahí. Aun así el límite existe porque ambas ramas se acercan al mismo punto. Esto separa «valor de la función» de «comportamiento alrededor».
La derivada: qué tan rápido cambia
Piensa en la velocidad de un auto. La derivada mide el cambio instantáneo. Resuelve en la guía.
Derivar = encontrar la pendiente de la tangente
La derivada f'(x) da la PENDIENTE de la curva en cada punto: cuánto cambia y por cada cambio minúsculo de x. Si f(x) = x², entonces f'(x) = 2x. En x = 3 la pendiente es 2·3 = 6: la curva sube seis veces más rápido de lo que avanza.
Si f(x) = x², ¿cuál es su derivada f'(x)?
¿Cuál es la pendiente de f(x) = x² en el punto x = 4?
Promedio contra instantáneo
Distingue la velocidad promedio (en un intervalo) de la instantánea (en un punto).
Dos formas de medir qué tan rápido
La velocidad PROMEDIO toma dos momentos lejanos: distancia total entre tiempo total (una secante). La velocidad INSTANTÁNEA es la derivada: qué tan rápido vas en un preciso instante (una tangente). Cuando el intervalo se encoge a un punto, la secante se vuelve tangente.
La velocidad instantánea en un punto se calcula con la derivada.
Un viaje en auto: da un ejemplo de una cantidad que sea un promedio y otra que sea instantánea. ¿Por qué el velocímetro muestra la instantánea?
Piensa en velocidad media del viaje contra lo que marca el tablero en cada momento.
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